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3 Simulation mol´ eculaire
i
∂ψ e
∂t
= H e (t) ψ e ,
(3.10)
o` u l’hamiltonien ´ electronique s’´ ecrit
H e (t)=−
N
i=1
1
2
∆ xi −
N
i=1
M
k=1
z k
|x i − ¯
x k (t)|
+
1≤i 1
|x i − x j |
.
La dynamique des noyaux est d´ ecrite par l’´ equation de Newton
m k
d
2 ¯
x k
dt 2 (t)=−∇ ¯
x k W (t;¯ x 1 (t), ···¯ x M (t))
(3.11)
avec
W (t;¯ x 1 , ···, ¯
x M )=−
M
k=1
I R 3
z k ρ(t, x)
|x − ¯
x k |
dx +
1≤k z k z l
|¯ x k − ¯
x l |
.
(3.12)
o` u
ρ(t, x)=N
σ1,σ2,···,σN
I R 3(N −1)
|ψ e |
2 (t; x, σ 1 ; x 2 ,σ 2 ; ···; x N ,σ N ) dx 2 ···dx N
d´ esigne la densit´ e´ electronique `
a l’instant t. Chaque noyau se d´ eplace donc
selon une dynamique newtonienne dans le potentiel cr´ e´ e par les autres noyaux
et par la distribution ´ electronique moyenne ρ.
Fig. 3.1. Dynamique non adiabatique : les noyaux sont g´ er´ es par la dynamique
newtonienne, et les ´ etats ´ electroniques ´ evoluent par l’´ equation de Schr¨ odinger.