4. ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE
85
Th´ eor` eme 4.3. — Soient X et Y deux variables al´ eatoires, discr` etes,
d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). Si E[ | X| ] < ∞ et E[ | Y | ] < ∞,
on a les propri´ et´ es :
A. Lin´ earit´ e
(A1) E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] ;
(A2) E[λX] = λ E[X] (λ ∈ R).
B. Monotonie
(B1) X ≥ 0 =⇒ E[X] ≥ 0 ;
(B2) X ≥ Y =⇒ E[X] ≥ E[Y ] ;
(B3) X = Y p.s. =⇒ E[X] = E[Y ].
C. Ind´ ependance. — Si X et Y sont ind´ ependantes, alors E[XY ] est finie
et l’on a E[XY ] = E[X] E[Y ].
D´ emonstration. — Notons
i P{X = x i } ε x i et
j P{Y = y j } ε y j les
lois respectives de X et de Y .
Pour d´ emontrer (A1), on fait appel `
a la loi conjointe de X et Y . On a :
j
P{X = x i , Y = y j } |x i | = P{X = x i } |x i | ,
d’o` u
i
j
P{X = x i , Y = y j }
|x i | =
i
P{X = x i } |x i | = E[ |X| ] < +∞.
On montre de mˆ eme :
j
i
P{X = x i , Y = y j }
|y j | = E[ |Y | ] < +∞.
Il en r´ esulte que la s´ erie double
i,j P{X = x i , Y = y j }(x i + y j ) est
absolument convergente ; le calcul formel ci-dessous est donc valable :
i,j
P{X = x i , Y = y j }(x i + y j )
=
i
j
P{X = x i , Y = y j }
x i +
j
i
P{X = x i , Y = y j }
y j ;
c’est-` a-dire
E[X + Y ] = E[X] + E[Y ].
La propri´ et´ e (A2) est banale ` a v´ erifier. Pour (B1), si l’on a X ≥ 0, alors
chacun des x i est positif et E[X] =
i P{X = x i }x i ≥ 0. Soit
k P{Z =
z k } ε z k la loi de Z = X − Y . Si Z ≥ 0, alors E[Z] = E[X] − E[Y ] ≥ 0.
D’o` u (B2). Enfin, pour (B3), si Z = 0 p.s., alors P{Z = 0} = 1. Par suite
P{Z = z} = 0 pour tout z = 0. D’o` u E[Z] =
k P{Z = z k }z k = 0.
Pour d´ emontrer (C), on pose XY = g ◦ T avec T = (X, Y ) et g(x, y) = xy.
On part de la loi du couple T . D’apr` es la Proposition 1.1, la loi du produit XY
s’´ ecrit ` a l’aide de la loi de T comme suit
P XY =
i,j
P{X = x i , Y = y j }ε x i y j =
i,j
P{X = x i } P{Y = y j }ε x i y j ,
ERANCE MATH ´
EMATIQUE
85
Th´ eor` eme 4.3. — Soient X et Y deux variables al´ eatoires, discr` etes,
d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). Si E[ | X| ] < ∞ et E[ | Y | ] < ∞,
on a les propri´ et´ es :
A. Lin´ earit´ e
(A1) E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] ;
(A2) E[λX] = λ E[X] (λ ∈ R).
B. Monotonie
(B1) X ≥ 0 =⇒ E[X] ≥ 0 ;
(B2) X ≥ Y =⇒ E[X] ≥ E[Y ] ;
(B3) X = Y p.s. =⇒ E[X] = E[Y ].
C. Ind´ ependance. — Si X et Y sont ind´ ependantes, alors E[XY ] est finie
et l’on a E[XY ] = E[X] E[Y ].
D´ emonstration. — Notons
i P{X = x i } ε x i et
j P{Y = y j } ε y j les
lois respectives de X et de Y .
Pour d´ emontrer (A1), on fait appel `
a la loi conjointe de X et Y . On a :
j
P{X = x i , Y = y j } |x i | = P{X = x i } |x i | ,
d’o` u
i
j
P{X = x i , Y = y j }
|x i | =
i
P{X = x i } |x i | = E[ |X| ] < +∞.
On montre de mˆ eme :
j
i
P{X = x i , Y = y j }
|y j | = E[ |Y | ] < +∞.
Il en r´ esulte que la s´ erie double
i,j P{X = x i , Y = y j }(x i + y j ) est
absolument convergente ; le calcul formel ci-dessous est donc valable :
i,j
P{X = x i , Y = y j }(x i + y j )
=
i
j
P{X = x i , Y = y j }
x i +
j
i
P{X = x i , Y = y j }
y j ;
c’est-` a-dire
E[X + Y ] = E[X] + E[Y ].
La propri´ et´ e (A2) est banale ` a v´ erifier. Pour (B1), si l’on a X ≥ 0, alors
chacun des x i est positif et E[X] =
i P{X = x i }x i ≥ 0. Soit
k P{Z =
z k } ε z k la loi de Z = X − Y . Si Z ≥ 0, alors E[Z] = E[X] − E[Y ] ≥ 0.
D’o` u (B2). Enfin, pour (B3), si Z = 0 p.s., alors P{Z = 0} = 1. Par suite
P{Z = z} = 0 pour tout z = 0. D’o` u E[Z] =
k P{Z = z k }z k = 0.
Pour d´ emontrer (C), on pose XY = g ◦ T avec T = (X, Y ) et g(x, y) = xy.
On part de la loi du couple T . D’apr` es la Proposition 1.1, la loi du produit XY
s’´ ecrit ` a l’aide de la loi de T comme suit
P XY =
i,j
P{X = x i , Y = y j }ε x i y j =
i,j
P{X = x i } P{Y = y j }ε x i y j ,