86 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
puisque X et Y sont ind´ ependantes. Par suite,
E[XY ] =
i,j
P{X = x i } P{Y = y j }x i y j
=
i
P{X = x i }x i
j
P{Y = y j }y j
= E[X] E[Y ].
5. Moments. — L’esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire X
ne d´ epend que de la loi de X et indique la valeur moyenne autour de
laquelle X prend ses valeurs. On introduit d’autres caract´ eristiques de la
loi de X qui rendent compte de la dispersion de cette loi, par exemple les
moments. D´ ebutons par un lemme qui permet de comparer les moments de
diff´ erents ordres.
Lemme 5.1. — Soient r et r
deux nombres r´ eels tels que 0 < r
< r et
X une variable al´ eatoire r´ eelle. Si E[ |X|
r ] est fini, alors E[ |X|
r
] est aussi
fini.
D´ emonstration. — En effet, pour tout a > 0, on a l’in´ egalit´ e a
r
≤ 1 + a
r ,
car pour a ≥ 1, on peut ´ ecrire a
r = a
r
a
r−r
≥ a
r
et pour a < 1 on a
naturellement a
r
< 1.
Appliquons cette in´ egalit´ e ` a |X(ω)|. Il vient |X(ω)|
r
≤ 1 + |X(ω)|
r pour
tout ω ∈ Ω. Or E[1 + |X|
r ] = 1 + E[ |X|
r ] existe et est finie par hypoth` ese.
De la propri´ et´ e (D2) ci-dessus r´ esulte alors que E[ |X|
r
] est aussi fini.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle, discr` ete, de loi P X =
i∈I α i ε x i . Soit a un nombre r´ eel et r un nombre r´ eel. Si E[ |X − a|
r ] est
fini, alors le moment d’ordre r de X centr´ e en a est d´ efini par :
a m r = E[(X − a)
r ] =
i∈I
α i (x i − a)
r .
Le moment d’ordre r (centr´ e en 0) est d´ efini par :
m r = E[X
r ].
De mˆ eme, si E[ |X| ] est fini, ainsi que E[ |X − E[X]|
r ], le moment centr´ e
d’ordre r (` a la moyenne) est d´ efini par :
µ r = E[(X − E[X])
r ].
Si r = 1, alors m 1 = E[X] et µ 1 = 0. Pour r = 2, le moment centr´ e µ 2 est
encore appel´ e variance de X et not´ e
Var X = E[(X − E[X])
2 ].
La racine carr´ ee positive de Var X est d´ esign´ ee par σ(X). C’est l’´ ecarttype de X. Les variables al´ eatoires (X − E[X]) et (X − E[X])/σ(X) sont
respectivement appel´ ees centr´ ee et centr´ ee r´ eduite (dans ce dernier cas, on
suppose σ(X) > 0).
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
puisque X et Y sont ind´ ependantes. Par suite,
E[XY ] =
i,j
P{X = x i } P{Y = y j }x i y j
=
i
P{X = x i }x i
j
P{Y = y j }y j
= E[X] E[Y ].
5. Moments. — L’esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire X
ne d´ epend que de la loi de X et indique la valeur moyenne autour de
laquelle X prend ses valeurs. On introduit d’autres caract´ eristiques de la
loi de X qui rendent compte de la dispersion de cette loi, par exemple les
moments. D´ ebutons par un lemme qui permet de comparer les moments de
diff´ erents ordres.
Lemme 5.1. — Soient r et r
deux nombres r´ eels tels que 0 < r
< r et
X une variable al´ eatoire r´ eelle. Si E[ |X|
r ] est fini, alors E[ |X|
r
] est aussi
fini.
D´ emonstration. — En effet, pour tout a > 0, on a l’in´ egalit´ e a
r
≤ 1 + a
r ,
car pour a ≥ 1, on peut ´ ecrire a
r = a
r
a
r−r
≥ a
r
et pour a < 1 on a
naturellement a
r
< 1.
Appliquons cette in´ egalit´ e ` a |X(ω)|. Il vient |X(ω)|
r
≤ 1 + |X(ω)|
r pour
tout ω ∈ Ω. Or E[1 + |X|
r ] = 1 + E[ |X|
r ] existe et est finie par hypoth` ese.
De la propri´ et´ e (D2) ci-dessus r´ esulte alors que E[ |X|
r
] est aussi fini.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle, discr` ete, de loi P X =
i∈I α i ε x i . Soit a un nombre r´ eel et r un nombre r´ eel. Si E[ |X − a|
r ] est
fini, alors le moment d’ordre r de X centr´ e en a est d´ efini par :
a m r = E[(X − a)
r ] =
i∈I
α i (x i − a)
r .
Le moment d’ordre r (centr´ e en 0) est d´ efini par :
m r = E[X
r ].
De mˆ eme, si E[ |X| ] est fini, ainsi que E[ |X − E[X]|
r ], le moment centr´ e
d’ordre r (` a la moyenne) est d´ efini par :
µ r = E[(X − E[X])
r ].
Si r = 1, alors m 1 = E[X] et µ 1 = 0. Pour r = 2, le moment centr´ e µ 2 est
encore appel´ e variance de X et not´ e
Var X = E[(X − E[X])
2 ].
La racine carr´ ee positive de Var X est d´ esign´ ee par σ(X). C’est l’´ ecarttype de X. Les variables al´ eatoires (X − E[X]) et (X − E[X])/σ(X) sont
respectivement appel´ ees centr´ ee et centr´ ee r´ eduite (dans ce dernier cas, on
suppose σ(X) > 0).