5. MOMENTS
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Il r´ esulte du pr´ ec´ edent lemme que toute variable al´ eatoire qui a un moment
d’ordre deux fini a une esp´ erance math´ ematique finie.
Proposition 5.2. — Une variable al´ eatoire r´ eelle X a un moment
d’ordre deux E[X
2 ] fini, si et seulement si son esp´ erance math´ ematique E[X]
et sa variance Var X existent et sont finies, et l’on a :
(5.1)
Var X = E[X
2 ] − (E[X])
2 .
D´ emonstration. — Si X a un moment d’ordre deux fini, elle a aussi une
esp´ erance math´ ematique, de sorte qu’on peut former le d´ eveloppement :
(X − E[X])
2 = X
2
− 2X E[X] + (E[X])
2 ,
dont l’esp´ erance math´ ematique, qui n’est autre que Var X, est donn´ ee par
E[X
2 ] − (E[X])
2 , en vertu des propri´ et´ es de lin´ earit´ e (A1) et (A2).
R´ eciproquement, supposons que E[ |X| ] et Var X soient finies. En ´ ecrivant
X
2 = (X − E[X] + E[X])
2 = (X − E[X])
2 + (E[X])
2 + 2 E[X] (X − E[X]),
on remarque que tous les termes du second membre ont une esp´ erance math´ ematique finie. De l` a, les propri´ et´ es de lin´ earit´ e de l’esp´ erance math´ ematique
entraˆ ınent que E[X
2 ] est fini. Comme, de plus, on a
E[ E[X] (X − E[X])] = E[X] E[X − E[X]] = 0,
on retrouve bien, une nouvelle fois la formule (5.1).
Proposition 5.3. — Soit X une variable al´ eatoire v´ erifiant E[X
2 ] < ∞.
Alors pour tout nombre r´ eel a, on a l’in´ egalit´ e :
E[(X − a)
2 ] ≥ E
X − E[X]
2
= σ
2 .
En d’autres termes, c’est par rapport `
a l’esp´ erance math´ ematique que le
moment quadratique est minimum et la valeur du minimum est la variance. Si
donc on prend l’esp´ erance math´ ematique comme caract´ eristique de position,
il convient de prendre la variance comme caract´ eristique de dispersion.
D´ emonstration. — Posons g(a) = E[(X − a)
2 ] et µ = E[X]. Alors
g(a) = E
(X − µ) + (µ − a)
2
= E
(X − µ)
2
+ 2(µ − a) E[X − µ] + (µ − a)
2
= σ
2 + (µ − a)
2 .
D´ efinition. — Soient r un entier tel que r ≥ 1 et X une variable al´ eatoire.
Si E[ |X|
r ] est fini, on d´ efinit le moment factoriel d’ordre r par :
E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)].
Ces moments sont surtout utilis´ es dans le cas o` u la variable al´ eatoire X prend
ses valeurs dans N.
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Il r´ esulte du pr´ ec´ edent lemme que toute variable al´ eatoire qui a un moment
d’ordre deux fini a une esp´ erance math´ ematique finie.
Proposition 5.2. — Une variable al´ eatoire r´ eelle X a un moment
d’ordre deux E[X
2 ] fini, si et seulement si son esp´ erance math´ ematique E[X]
et sa variance Var X existent et sont finies, et l’on a :
(5.1)
Var X = E[X
2 ] − (E[X])
2 .
D´ emonstration. — Si X a un moment d’ordre deux fini, elle a aussi une
esp´ erance math´ ematique, de sorte qu’on peut former le d´ eveloppement :
(X − E[X])
2 = X
2
− 2X E[X] + (E[X])
2 ,
dont l’esp´ erance math´ ematique, qui n’est autre que Var X, est donn´ ee par
E[X
2 ] − (E[X])
2 , en vertu des propri´ et´ es de lin´ earit´ e (A1) et (A2).
R´ eciproquement, supposons que E[ |X| ] et Var X soient finies. En ´ ecrivant
X
2 = (X − E[X] + E[X])
2 = (X − E[X])
2 + (E[X])
2 + 2 E[X] (X − E[X]),
on remarque que tous les termes du second membre ont une esp´ erance math´ ematique finie. De l` a, les propri´ et´ es de lin´ earit´ e de l’esp´ erance math´ ematique
entraˆ ınent que E[X
2 ] est fini. Comme, de plus, on a
E[ E[X] (X − E[X])] = E[X] E[X − E[X]] = 0,
on retrouve bien, une nouvelle fois la formule (5.1).
Proposition 5.3. — Soit X une variable al´ eatoire v´ erifiant E[X
2 ] < ∞.
Alors pour tout nombre r´ eel a, on a l’in´ egalit´ e :
E[(X − a)
2 ] ≥ E
X − E[X]
2
= σ
2 .
En d’autres termes, c’est par rapport `
a l’esp´ erance math´ ematique que le
moment quadratique est minimum et la valeur du minimum est la variance. Si
donc on prend l’esp´ erance math´ ematique comme caract´ eristique de position,
il convient de prendre la variance comme caract´ eristique de dispersion.
D´ emonstration. — Posons g(a) = E[(X − a)
2 ] et µ = E[X]. Alors
g(a) = E
(X − µ) + (µ − a)
2
= E
(X − µ)
2
+ 2(µ − a) E[X − µ] + (µ − a)
2
= σ
2 + (µ − a)
2 .
D´ efinition. — Soient r un entier tel que r ≥ 1 et X une variable al´ eatoire.
Si E[ |X|
r ] est fini, on d´ efinit le moment factoriel d’ordre r par :
E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)].
Ces moments sont surtout utilis´ es dans le cas o` u la variable al´ eatoire X prend
ses valeurs dans N.