88 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
D´ efinition. — Soient r un nombre r´ eel et X une variable al´ eatoire. Si
E[ |X|
r ] < +∞, on d´ efinit le moment absolu d’ordre r (centr´ e en 0) par
E[ |X|
r ]. Dans le cas o` u en outre r = 0, on d´ efinit l’´ ecart d’ordre r (par
rapport `
a 0) par :
e r =
E[ |X|
r ]
1/r .
On voit que e 2 est l’´ ecart-type, si X est centr´ e.
6. Covariance. — Soit T = (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires
r´ eelles, de loi
P T =
i,j
P{X = x i , Y = y j } ε (x i ,y j ) .
La variable al´ eatoire XY a une esp´ erance math´ ematique ´ egale ` a
E[XY ] =
i,j
P{X = x i , Y = y j } x i y j ,
` a condition que la s´ erie du second membre converge absolument. Comme
|x i y j | ≤ (x
2
i + y
2
j )/2, alors E[XY ] existe si X et Y ont des moments du
second ordre finis. Dans ce cas les esp´ erances math´ ematiques existent et sont
finies, leurs variances ´ egalement. Par suite (X − E[X])(Y − E[Y ]) a aussi une
esp´ erance math´ ematique finie. La d´ efinition suivante a donc un sens.
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires de loi conjointe
donn´ ee. Si X et Y ont des moments du second ordre finis, la covariance de
X et de Y est d´ efinie par :
Cov(X, Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY ] − E[X] E[Y ].
Si Cov(X, Y ) = 0, on dit que X et Y sont non corr´ el´ ees.
Il r´ esulte imm´ ediatement de cette d´ efinition et de la propri´ et´ e C (Ind´ ependance), que si X et Y sont ind´ ependantes, leur covariance Cov(X, Y ) est nulle.
La r´ eciproque n’est pas exacte : deux variables al´ eatoires peuvent ˆ etre non
corr´ el´ ees sans ˆ etres ind´ ependantes.
Exemple. — Soit X la variable al´ eatoire de loi P X =
1
3 (ε −1 + ε 0 + ε 1 ).
Posons Y = X
2 . La loi du couple T = (X, Y ) est donn´ ee par :
P T =
1
3
(ε (−1,1) + ε (0,0) + ε (1,1) ).
On a E[X] = 0 et E[XY ] = 0. D’o` u Cov(X, Y ) = 0. Pourtant Y = X
2 .
Proposition 6.1. — Si (X 1 , X 2 , . . . , X n ) est un syst` eme de n variables
al´ eatoires ayant chacune un moment du second ordre fini, alors
(6.1)
Var
n
i=1
X k =
n
i=1
Var X k + 2
1≤j
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
D´ efinition. — Soient r un nombre r´ eel et X une variable al´ eatoire. Si
E[ |X|
r ] < +∞, on d´ efinit le moment absolu d’ordre r (centr´ e en 0) par
E[ |X|
r ]. Dans le cas o` u en outre r = 0, on d´ efinit l’´ ecart d’ordre r (par
rapport `
a 0) par :
e r =
E[ |X|
r ]
1/r .
On voit que e 2 est l’´ ecart-type, si X est centr´ e.
6. Covariance. — Soit T = (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires
r´ eelles, de loi
P T =
i,j
P{X = x i , Y = y j } ε (x i ,y j ) .
La variable al´ eatoire XY a une esp´ erance math´ ematique ´ egale ` a
E[XY ] =
i,j
P{X = x i , Y = y j } x i y j ,
` a condition que la s´ erie du second membre converge absolument. Comme
|x i y j | ≤ (x
2
i + y
2
j )/2, alors E[XY ] existe si X et Y ont des moments du
second ordre finis. Dans ce cas les esp´ erances math´ ematiques existent et sont
finies, leurs variances ´ egalement. Par suite (X − E[X])(Y − E[Y ]) a aussi une
esp´ erance math´ ematique finie. La d´ efinition suivante a donc un sens.
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires de loi conjointe
donn´ ee. Si X et Y ont des moments du second ordre finis, la covariance de
X et de Y est d´ efinie par :
Cov(X, Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY ] − E[X] E[Y ].
Si Cov(X, Y ) = 0, on dit que X et Y sont non corr´ el´ ees.
Il r´ esulte imm´ ediatement de cette d´ efinition et de la propri´ et´ e C (Ind´ ependance), que si X et Y sont ind´ ependantes, leur covariance Cov(X, Y ) est nulle.
La r´ eciproque n’est pas exacte : deux variables al´ eatoires peuvent ˆ etre non
corr´ el´ ees sans ˆ etres ind´ ependantes.
Exemple. — Soit X la variable al´ eatoire de loi P X =
1
3 (ε −1 + ε 0 + ε 1 ).
Posons Y = X
2 . La loi du couple T = (X, Y ) est donn´ ee par :
P T =
1
3
(ε (−1,1) + ε (0,0) + ε (1,1) ).
On a E[X] = 0 et E[XY ] = 0. D’o` u Cov(X, Y ) = 0. Pourtant Y = X
2 .
Proposition 6.1. — Si (X 1 , X 2 , . . . , X n ) est un syst` eme de n variables
al´ eatoires ayant chacune un moment du second ordre fini, alors
(6.1)
Var
n
i=1
X k =
n
i=1
Var X k + 2
1≤j