7. LE COEFFICIENT DE CORR ´
ELATION LIN ´
EAIRE
89
Si les variables sont mutuellement ind´ ependantes (ou mˆ eme seulement non
corr´ el´ ees deux `
a deux), alors
Var
n
i=1
X k =
n
i=1
Var X k .
D´ emonstration. — On peut, sans nuire `
a la g´ en´ eralit´ e, supposer les
variables X 1 , X 2 , . . . , X n centr´ ees. Or on a :
k
X k
2 =
k
X
2
k + 2
1≤j
En prenant l’esp´ erance math´ ematique des deux membres, on obtient (6.1).
Enfin, si X 1 , . . . , X n sont non corr´ el´ ees deux ` a deux, les covariances
Cov(X j , X k ) sont nulles pour 1 ≤ j < k ≤ n. On obtient bien la seconde
formule.
On v´ erifie que Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X, Y ), c’est-` a-dire que la
covariance est invariante par changement d’origine sur les axes 0x et 0y,
mais non par changement d’´ echelle. Ceci peut ˆ etre un inconv´ enient dans
les applications statistiques qu’il conviendra de corriger ; ce sera l’objet du
prochain paragraphe.
7. Le coefficient de corr´ elation lin´ eaire
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles telles
que E[X
2 ] < ∞ et E[Y
2 ] < ∞. Supposons, d’autre part, que σ(X)σ(Y ) > 0.
On appelle coefficient de corr´ elation (lin´ eaire) du couple (X, Y ) le nombre
r(X, Y ) =
Cov(X, Y )
σ(X)σ(Y )
= E
X − E[X]
σ(X)
Y − E[Y ]
σ(Y )
.
On v´ erifie que si ac = 0, on a r(aX + b, cY + d) = sg(ac) r(X, Y ). En
prenant a > 0, c > 0, on voit que le coefficient de corr´ elation lin´ eaire est
invariant `
a la fois par changement d’origine et par changement d’´ echelle sur
les axes 0x et 0y. On tirera profit de cette propri´ et´ e dans les calculs relatifs
` a r(X, Y ), en supposant les variables marginales X et Y centr´ ees, r´ eduites.
Propri´ et´ e 7.1. — |r(X, Y )| ≤ 1.
D´ emonstration. — Supposons X et Y centr´ ees r´ eduites ; on a, pour tout λ
0 ≤ E[(X + λY )
2 ] = E[X
2 ] + 2 λ E[XY ] + λ
2
E[Y
2 ] = 1 + 2λr + λ
2 .
On a un trinˆ ome du second degr´ e en λ, qui est positif ; son discriminant est
donc n´ egatif ou nul, c’est-` a-dire r
2
≤ 1.
Propri´ et´ e 7.2. — Si r(X, Y ) = ±1, alors X et Y sont li´ ees par une
relation fonctionnelle lin´ eaire (mieux, affine). [D’o` u le nom de coefficient de
corr´ elation lin´ eaire donn´ e ` a r.]
ELATION LIN ´
EAIRE
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Si les variables sont mutuellement ind´ ependantes (ou mˆ eme seulement non
corr´ el´ ees deux `
a deux), alors
Var
n
i=1
X k =
n
i=1
Var X k .
D´ emonstration. — On peut, sans nuire `
a la g´ en´ eralit´ e, supposer les
variables X 1 , X 2 , . . . , X n centr´ ees. Or on a :
k
X k
2 =
k
X
2
k + 2
1≤j
En prenant l’esp´ erance math´ ematique des deux membres, on obtient (6.1).
Enfin, si X 1 , . . . , X n sont non corr´ el´ ees deux ` a deux, les covariances
Cov(X j , X k ) sont nulles pour 1 ≤ j < k ≤ n. On obtient bien la seconde
formule.
On v´ erifie que Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X, Y ), c’est-` a-dire que la
covariance est invariante par changement d’origine sur les axes 0x et 0y,
mais non par changement d’´ echelle. Ceci peut ˆ etre un inconv´ enient dans
les applications statistiques qu’il conviendra de corriger ; ce sera l’objet du
prochain paragraphe.
7. Le coefficient de corr´ elation lin´ eaire
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles telles
que E[X
2 ] < ∞ et E[Y
2 ] < ∞. Supposons, d’autre part, que σ(X)σ(Y ) > 0.
On appelle coefficient de corr´ elation (lin´ eaire) du couple (X, Y ) le nombre
r(X, Y ) =
Cov(X, Y )
σ(X)σ(Y )
= E
X − E[X]
σ(X)
Y − E[Y ]
σ(Y )
.
On v´ erifie que si ac = 0, on a r(aX + b, cY + d) = sg(ac) r(X, Y ). En
prenant a > 0, c > 0, on voit que le coefficient de corr´ elation lin´ eaire est
invariant `
a la fois par changement d’origine et par changement d’´ echelle sur
les axes 0x et 0y. On tirera profit de cette propri´ et´ e dans les calculs relatifs
` a r(X, Y ), en supposant les variables marginales X et Y centr´ ees, r´ eduites.
Propri´ et´ e 7.1. — |r(X, Y )| ≤ 1.
D´ emonstration. — Supposons X et Y centr´ ees r´ eduites ; on a, pour tout λ
0 ≤ E[(X + λY )
2 ] = E[X
2 ] + 2 λ E[XY ] + λ
2
E[Y
2 ] = 1 + 2λr + λ
2 .
On a un trinˆ ome du second degr´ e en λ, qui est positif ; son discriminant est
donc n´ egatif ou nul, c’est-` a-dire r
2
≤ 1.
Propri´ et´ e 7.2. — Si r(X, Y ) = ±1, alors X et Y sont li´ ees par une
relation fonctionnelle lin´ eaire (mieux, affine). [D’o` u le nom de coefficient de
corr´ elation lin´ eaire donn´ e ` a r.]