90 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
D´ emonstration. — Faisons-la pour r = 1. On suppose X et Y centr´ ees
r´ eduites ; on a alors pour tout λ
0 ≤ E[(X + λ Y )
2 ] = 1 + 2λ + λ
2 = (λ + 1)
2 .
Pour λ = −1, on a E[(X − Y )
2 ] = 0, c’est-` a-dire Y = X p.s. Pour r = −1,
on trouve Y = −X p.s.
Si les variables X, Y ne sont pas centr´ ees r´ eduites, la relation lin´ eaire qui
les lie est :
Y − E[Y ]
σ(Y )
= ±
X − E[X]
σ(X)
p.s.
8. L’in´ egalit´ e de Tchebychev. — Il s’agit d’une in´ egalit´ e extrˆ emement utilis´ ee dans le calcul des probabilit´ es, en particulier dans l’´ etude de la
convergence en probabilit´ e.
Proposition 8.1. — Soit r > 0 un nombre r´ eel et X une variable
al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). Si E[ |X|
r ] est
fini, on a, pour tout nombre r´ eel t > 0, l’in´ egalit´ e :
P{ |X| ≥ t} ≤
E[ |X|
r ]
t r
;
ou encore, de fa¸ con ´ equivalente, en d´ esignant par e r l’´ ecart d’ordre r, on a,
pour tout nombre r´ eel t > 0, l’in´ egalit´ e :
P{ |X| ≥ te r } ≤
1
t r .
D´ emonstration. — En effet, soient t, r > 0. On a
{ |X| ≥ t} ⇔ { |X|
r
≥ t
r
}.
D’o` u
t
r I { |X|≥t } = t
r I { |X| r ≥t r } ≤ |X|
r ,
et le r´ esultat en prenant l’esp´ erance math´ ematique.
Pour r = 1, 2, on obtient l’in´ egalit´ e de Markov, de Tchebychev (ou
de Bienaym´ e), respectivement. La version la plus utilis´ ee de l’in´ egalit´ e de
Tchebychev est celle qui s’applique `
a la variable al´ eatoire centr´ ee (X −E[X]).
Corollaire 8.2. — Si E[X
2 ] < +∞, on a pour tout t > 0 l’in´ egalit´ e
P{|X − E[X]| ≥ t} ≤
Var X
t 2 .