9. LES IN ´
EGALIT ´
ES RELATIVES AUX MOMENTS
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Remarque 1. — Posons µ = E[X], σ
2 = Var X ; alors pour tout t > 0 on a
P{|X − µ| ≥ t} ≤
σ
2
t 2 ; ou encore P{|X − µ| ≥ tσ} ≤
1
t 2 ;
soit
P{|X − µ| < tσ} ≥ 1 −
1
t 2 ; et P{X ∈]µ − tσ, µ + tσ[} ≥ 1 −
1
t 2 .
En particulier, pour t = 2 et t = 3, on a, respectivement :
(*)
P{X ∈]µ − 2σ, µ + 2σ[} ≥ 1 −
1
4
= 0, 75 ;
(**)
P{X ∈]µ − 3σ, µ + 3σ[} ≥ 1 −
1
9
≈ 0, 88.
On voit clairement le rˆ ole de l’´ ecart-type.
Remarque 2. — L’in´ egalit´ e de Tchebychev est universelle (c’est-` a-dire elle
est valable pour toute variable al´ eatoire admettant un moment quadratique).
En revanche, elle est grossi` ere. On s’en convaincra en observant que si X est
une variable al´ eatoire normale, de loi N (µ, σ) (voir chap. 14, § 3), on a :
P{X ∈]µ − 2σ, µ + 2σ[} ≈ 0, 95 ;
[r` egle des 2 σ ]
P{X ∈]µ − 3σ, µ + 3σ[} ≈ 0, 997.
On remarque la pauvret´ e des minorations (∗) et (∗∗).
9. Les in´ egalit´ es relatives aux moments dans le cas fini. — Soit X
une variable al´ eatoire discr` ete finie, ` a valeurs strictement positives. Pour fixer
les id´ ees, supposons que sa loi de probabilit´ e P X soit donn´ ee par
P X =
l
k=1
α k ε x k ,
o` u α 1 , . . . , α l ≥ 0,
l
k=1
α k = 1 et 0 < x 1 < · · · < x l < +∞. Nous observons
que
a) pour tout nombre r´ eel r le moment (absolu) d’ordre r existe et est
´ egal ` a
m r = E[X
r ] =
l
k=1
α k x
r
k ;
b) pour tout nombre r´ eel r = 0 l’´ ecart d’ordre r existe et est ´ egal ` a
e r =
m r
1/r .
Proposition et D´ efinition 9.1. — Lorsque r tend vers 0, l’´ ecart e r
tend vers une limite finie, not´ ee e 0 et l’on a :
e 0 =
l
k=1
x
α k
k .
Le nombre e 0 est appel´ e la moyenne g´ eom´ etrique de X.