92 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
D´ emonstration. — On a :
Log e r =
1
r
Log
l
k=1
α k x
r
k
=
1
r
Log
l
k=1
α k exp(r Log x k )
=
1
r
Log
l
k=1
α k
1 + r Log x k + o(r)
=
1
r
Log
1 + r
l
k=1
α k Log x k + o(r)
.
D’o` u Log e r tend vers
l
k=1
α k Log x k , lorsque r tend vers 0.
Th´ eor` eme 9.2. — Consid´ erons l’application r → e r de R dans R
+
d´ efinie comme suit :
e r =

 
 
m r
1/r (l’´ ecart d’ordre r),
si r = 0 ;
l
k=1
x
α k
k (la moyenne g´ eom´ etrique), si r = 0.
Alors cette application est croissante sur R.
D´ emonstration.
a) La fonction r → Log m r (r ∈ R) est convexe. En effet, pour r, s ∈ R,
on a, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Schwarz,
l
k=1
α k x
(r+s)/2
k
≤
l
k=1
α k x
r
k
1/2 l
k=1
α k x
s
k
1/2
m (r+s)/2 ≤
m r m s
1/2
Log m (r+s)/2 ≤
1
2
Log m r + Log m s
,
d’o` u le r´ esultat puisque la fonction r → Log m r est continue.
b) La fonction r → e r (r ∈ R \ {0}) est croissante dans ] − ∞, 0[ et
dans ]0, +∞[. En effet, d’apr` es a) la courbe repr´ esentative de la fonction r →
Log m r (r ∈ R) est convexe et passe par l’origine (on a m 0 = 1). Consid´ erons,
pour r = 0, l’expression Log e r =
1
r Log m r =
1
r (Log m r − Log m 0 ) qui est la
pente de la droite joignant l’origine au point (r, Log m r ). Il r´ esulte de a) que
la fonction r → Log e r est croissante dans ] − ∞, 0[ et dans ]0, +∞[. Il en est
donc de mˆ eme de la fonction r → e r .
c) Le nombre e 0 =
l
k=1 x
α k
k est le prolongement par continuit´ e de la
fonction r → e r (r ∈ R \ {0}) au point r = 0. Le th´ eor` eme en r´ esulte.
Remarque. — L’application ci-dessus de R dans R
+ peut ˆ etre prolong´ ee
en une application de R dans R
+ ; on a en effet :
lim
r→−∞
e r =
l
min
k=1
x k = x 1 (= e −∞ ) ;
lim
r→+∞
e r =
l
max
k=1
x k = x l (= e +∞ ).