10. M ´
EDIANE. ´
ECART MOYEN MINIMUM
93
Cas particulier 1. — Pour r = n ∈ N
∗ le th´ eor` eme 9.2 donne e n ≤ e n+1 ;
c’est l’in´ egalit´ e de Liapounov. Pour n = 1, il vient e 1 ≤ e 2 , c’est-` a-dire
E[ |X| ] ≤
E[X 2 ]. En prenant pour X la variable al´ eatoire centr´ ee (X − µ)
(µ = E[X]), on a E[ |X − µ| ] ≤
E[(X − µ) 2 ], c’est-` a-dire l’´ ecart absolu par
rapport `
a µ est major´ e par l’´ ecart-type.
Cas particulier 2. — Il r´ esulte du Th´ eor` eme 9.2 que l’on a e −1 ≤ e 0 ≤ e 1 ,
o` u
e −1 =
E[X
−1 ]
−1 =
l
k=1
α k
x k
−1
est la moyenne harmonique ;
e 0 =
l
k=1
x
α k
k est la moyenne g´ eom´ etrique ;
e 1 = E[X] =
l
k=1
α k x k est la moyenne arithm´ etique .
On retrouve les in´ egalit´ es classiques entre ces moyennes.
Cas particulier 3. — On a vu que pour tout couple (r, s) de nombres r´ eels
on a m (r+s)/2 ≤ (m r m s )
1/2 . En prenant r = 2n, s = 2n + 2 (n ∈ N), on
a m 2n+1 ≤ (m 2n m 2n+2 )
1/2 , in´ egalit´ e qui permet de majorer tout moment
d’ordre impair par des moments d’ordre pair.
10. M´ ediane. ´
Ecart moyen minimum. — Nous introduisons `
a
pr´ esent une nouvelle caract´ eristique, appel´ ee m´ ediane, qui a l’avantage, sur
l’esp´ erance math´ ematique, d’exister pour toute variable al´ eatoire.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle. On appelle m´ ediane de
X tout nombre M v´ erifiant :
P{X ≤ M } ≥
1
2
,
P{X ≥ M } ≥
1
2
.
Remarque 1. — Il r´ esulte imm´ ediatement de la d´ efinition que, si M est
une m´ ediane de X, on a :
P{X ≤ M } ≥
1
2
≥ P{X > M} et P{X ≥ M } ≥
1
2
≥ P{X < M}.
Remarque 2. — Toute variable al´ eatoire X admet au moins une m´ ediane,
elle peut en admettre plusieurs, qui jouent toutes le mˆ eme rˆ ole. Si la fonction
de r´ epartition F de X est continue et strictement croissante, alors X admet
une m´ ediane et une seule, M , et l’on a F(M ) =
1
2 .
Th´ eor` eme 10.1. — Soit X une variable al´ eatoire v´ erifiant E[ |X| ] <
+∞. Si M est une m´ ediane de X, alors pour tout nombre r´ eel a on a
l’in´ egalit´ e :
E[ |X − a| ] ≥ E[ |X − M | ].
D´ emonstration. — Nous ferons la d´ emonstration dans le cas o` u X est une
variable discr` ete de loi P X =
k α k ε x k . Lorsque l’esp´ erance math´ ematique
EDIANE. ´
ECART MOYEN MINIMUM
93
Cas particulier 1. — Pour r = n ∈ N
∗ le th´ eor` eme 9.2 donne e n ≤ e n+1 ;
c’est l’in´ egalit´ e de Liapounov. Pour n = 1, il vient e 1 ≤ e 2 , c’est-` a-dire
E[ |X| ] ≤
E[X 2 ]. En prenant pour X la variable al´ eatoire centr´ ee (X − µ)
(µ = E[X]), on a E[ |X − µ| ] ≤
E[(X − µ) 2 ], c’est-` a-dire l’´ ecart absolu par
rapport `
a µ est major´ e par l’´ ecart-type.
Cas particulier 2. — Il r´ esulte du Th´ eor` eme 9.2 que l’on a e −1 ≤ e 0 ≤ e 1 ,
o` u
e −1 =
E[X
−1 ]
−1 =
l
k=1
α k
x k
−1
est la moyenne harmonique ;
e 0 =
l
k=1
x
α k
k est la moyenne g´ eom´ etrique ;
e 1 = E[X] =
l
k=1
α k x k est la moyenne arithm´ etique .
On retrouve les in´ egalit´ es classiques entre ces moyennes.
Cas particulier 3. — On a vu que pour tout couple (r, s) de nombres r´ eels
on a m (r+s)/2 ≤ (m r m s )
1/2 . En prenant r = 2n, s = 2n + 2 (n ∈ N), on
a m 2n+1 ≤ (m 2n m 2n+2 )
1/2 , in´ egalit´ e qui permet de majorer tout moment
d’ordre impair par des moments d’ordre pair.
10. M´ ediane. ´
Ecart moyen minimum. — Nous introduisons `
a
pr´ esent une nouvelle caract´ eristique, appel´ ee m´ ediane, qui a l’avantage, sur
l’esp´ erance math´ ematique, d’exister pour toute variable al´ eatoire.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle. On appelle m´ ediane de
X tout nombre M v´ erifiant :
P{X ≤ M } ≥
1
2
,
P{X ≥ M } ≥
1
2
.
Remarque 1. — Il r´ esulte imm´ ediatement de la d´ efinition que, si M est
une m´ ediane de X, on a :
P{X ≤ M } ≥
1
2
≥ P{X > M} et P{X ≥ M } ≥
1
2
≥ P{X < M}.
Remarque 2. — Toute variable al´ eatoire X admet au moins une m´ ediane,
elle peut en admettre plusieurs, qui jouent toutes le mˆ eme rˆ ole. Si la fonction
de r´ epartition F de X est continue et strictement croissante, alors X admet
une m´ ediane et une seule, M , et l’on a F(M ) =
1
2 .
Th´ eor` eme 10.1. — Soit X une variable al´ eatoire v´ erifiant E[ |X| ] <
+∞. Si M est une m´ ediane de X, alors pour tout nombre r´ eel a on a
l’in´ egalit´ e :
E[ |X − a| ] ≥ E[ |X − M | ].
D´ emonstration. — Nous ferons la d´ emonstration dans le cas o` u X est une
variable discr` ete de loi P X =
k α k ε x k . Lorsque l’esp´ erance math´ ematique