94 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
d’une variable al´ eatoire quelconque sera d´ efinie (cf. chap. 11), on pourra
constater que la d´ emonstration dans le cas g´ en´ eral est tout `
a fait analogue.
Supposons tout d’abord M < a. On partage R en les trois invervalles disjoints
] − ∞, M], ]M, a], ]a, +∞[ et l’on peut ´ ecrire :
E[ |X − a| ] − E[ |X − M | ] =
k
|x k − a| − |x k − M |
α k
=
x k ∈]−∞,M ]
(a − M )α k +
x k ∈]M,a]
(a + M − 2x k )α k +
x k ∈]a,+∞[
(M − a)α k .
Notons A, B et C les trois sommes successives apparaissant dans la ligne
pr´ ec´ edente. On a :
A = (a − M ) P{X ≤ M } ;
B ≥
x k ∈]M,a]
(M − a)x k = (M − a) P{M < X ≤ a} ;
C = (M − a) P{X > a} ;
d’o` u, en d´ efinitive :
E[ |X − a| ] − E[ |X − M | ] ≥ (a − M )
P{X ≤ M } − P{X > M}
.
Or, M ´ etant une m´ ediane, le second membre est positif. La d´ emonstration
se fait de fa¸ con analogue dans le cas o` u M > a.
Remarque. — Soit X une variable al´ eatoire v´ erifiant E[ |X| ] < +∞.
Alors l’expression E[ |X − M | ] prend la mˆ eme valeur pour toute m´ ediane
M de X : en effet, soient M 1 , M 2 deux m´ edianes de X, avec M 1 = M 2 ;
en prenant a = M 1 , M = M 2 , puis a = M 2 , M = M 1 dans l’in´ egalit´ e du
Th´ eor` eme 10.1, on voit que E[ |X − M 1 | ] = E[ |X − M 2 | ]. Cette circonstance
justifie la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle v´ erifiant E[ |X| ] < +∞.
Alors E[ |X − M | ] prend la mˆ eme valeur pour toute m´ ediane M de X ; cette
valeur commune est appel´ ee ´ ecart moyen minimum ou ´ ecart m´ edian de X.
Le Th´ eor` eme 10.1 fournit alors un analogue du Th´ eor` eme 5.3 ; il montre
que si l’on adopte une m´ ediane comme caract´ eristique de position, il convient
de lui associer l’´ ecart moyen minimum comme caract´ eristique de dispersion.
Proposition 10.2. — L’´ ecart m´ edian est major´ e par l’´ ecart-type.
D´ emonstration. — Il r´ esulte du Th´ eor` eme 9.2 que E[ |X − µ| ] ≤ σ. Or,
M ´ etant une m´ ediane, on a, en appliquant le Th´ eor` eme 10.1 pour a = µ,
l’in´ egalit´ e E[ |X − M | ] ≤ E[ |X − µ| ]. D’o` u le r´ esultat.
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
d’une variable al´ eatoire quelconque sera d´ efinie (cf. chap. 11), on pourra
constater que la d´ emonstration dans le cas g´ en´ eral est tout `
a fait analogue.
Supposons tout d’abord M < a. On partage R en les trois invervalles disjoints
] − ∞, M], ]M, a], ]a, +∞[ et l’on peut ´ ecrire :
E[ |X − a| ] − E[ |X − M | ] =
k
|x k − a| − |x k − M |
α k
=
x k ∈]−∞,M ]
(a − M )α k +
x k ∈]M,a]
(a + M − 2x k )α k +
x k ∈]a,+∞[
(M − a)α k .
Notons A, B et C les trois sommes successives apparaissant dans la ligne
pr´ ec´ edente. On a :
A = (a − M ) P{X ≤ M } ;
B ≥
x k ∈]M,a]
(M − a)x k = (M − a) P{M < X ≤ a} ;
C = (M − a) P{X > a} ;
d’o` u, en d´ efinitive :
E[ |X − a| ] − E[ |X − M | ] ≥ (a − M )
P{X ≤ M } − P{X > M}
.
Or, M ´ etant une m´ ediane, le second membre est positif. La d´ emonstration
se fait de fa¸ con analogue dans le cas o` u M > a.
Remarque. — Soit X une variable al´ eatoire v´ erifiant E[ |X| ] < +∞.
Alors l’expression E[ |X − M | ] prend la mˆ eme valeur pour toute m´ ediane
M de X : en effet, soient M 1 , M 2 deux m´ edianes de X, avec M 1 = M 2 ;
en prenant a = M 1 , M = M 2 , puis a = M 2 , M = M 1 dans l’in´ egalit´ e du
Th´ eor` eme 10.1, on voit que E[ |X − M 1 | ] = E[ |X − M 2 | ]. Cette circonstance
justifie la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle v´ erifiant E[ |X| ] < +∞.
Alors E[ |X − M | ] prend la mˆ eme valeur pour toute m´ ediane M de X ; cette
valeur commune est appel´ ee ´ ecart moyen minimum ou ´ ecart m´ edian de X.
Le Th´ eor` eme 10.1 fournit alors un analogue du Th´ eor` eme 5.3 ; il montre
que si l’on adopte une m´ ediane comme caract´ eristique de position, il convient
de lui associer l’´ ecart moyen minimum comme caract´ eristique de dispersion.
Proposition 10.2. — L’´ ecart m´ edian est major´ e par l’´ ecart-type.
D´ emonstration. — Il r´ esulte du Th´ eor` eme 9.2 que E[ |X − µ| ] ≤ σ. Or,
M ´ etant une m´ ediane, on a, en appliquant le Th´ eor` eme 10.1 pour a = µ,
l’in´ egalit´ e E[ |X − M | ] ≤ E[ |X − µ| ]. D’o` u le r´ esultat.