COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — D´ eterminer l’esp´ erance math´ ematique (resp. la variance) d’une
variable al´ eatoire binomiale, de Poisson.
2. — Un concierge a n clefs dont une seule ouvre une porte. Il les essaie
l’une apr` es l’autre en ´ eliminant apr` es chaque essai la clef qui n’a pas convenu.
Trouver le nombre moyen d’essais n´ ecessaires pour trouver la bonne clef.
3. — Un processus de Bernoulli de param` etre p est une suite de variables
al´ eatoires (X n ) (n = 1, 2, . . . ) ind´ ependantes et ne prenant chacune que deux
valeurs (par exemple 1 et 0) avec la probabilit´ e p et q = 1−p. Il est commode
d’interpr´ eter X n comme le r´ esultat (succ` es ou ´ echec) au n
i` eme essai d’une
mˆ eme exp´ erience que l’on r´ ep` ete ind´ efiniment de telle sorte que les conditions
soient toujours les mˆ emes et que les r´ esultats des diff´ erents essais soient sans
influence mutuelle.
a) Montrer que la loi de la variable al´ eatoire S n = X 1 +· · ·+X n (nombre
de succ` es aux n premiers essais) est la loi binomiale B(n, p). Retrouver sans
calcul l’esp´ erance math´ ematique et la variance de cette loi.
b) Soit L le plus grand entier tel que X 1 = X 2 = · · · = X L et M
le plus grand entier tel que X L+1 = X L+2 = · · · = X L+M . Trouver les
lois des variables al´ eatoires L et M , leurs esp´ erances math´ ematiques et leurs
variances. Montrer que les lois de L et M co¨ ıncident si et seulement si p = 1/2.
c) (E. Kosmanek) Montrer que E[L] ≥ E[M ] = 2, Var L ≥ Var M ≥ 2,
Cov(L, M ) = −(p − q)
2 /(pq) et −1/2 ≤ r(L, M ) ≤ 0.
d) (E. Kosmanek) Montrer que pour tout n ≥ 1 on a
lim
l→∞
P{M = n | L = l} =
p
n−1 q, si p < 1/2 ;
q
n−1 p, si p > 1/2 ;
1/2
n ,
si p = 1/2.
e) Soit T le nombre d’´ echecs pr´ ec´ edant le premier succ` es, i.e. le plus petit
entier T tel que X T +1 = 1. Montrer que P T =
k≥0 pq
k ε k (loi g´ eom´ etrique
modifi´ ee) et calculer E[T ].
f) Plus g´ en´ eralement, si r est un entier au moins ´ egal ` a 1, soit T r le
nombre d’´ echecs pr´ ec´ edant le r
i` eme succ` es. Montrer que
P{T r = k} =
r + k − 1
k
p
r q
k =
−r
k
p
r (−q)
k
(loi binomiale n´ egative) et que E[T r ] = rq/p.
EMENTS ET EXERCICES
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EMENTS ET EXERCICES
1. — D´ eterminer l’esp´ erance math´ ematique (resp. la variance) d’une
variable al´ eatoire binomiale, de Poisson.
2. — Un concierge a n clefs dont une seule ouvre une porte. Il les essaie
l’une apr` es l’autre en ´ eliminant apr` es chaque essai la clef qui n’a pas convenu.
Trouver le nombre moyen d’essais n´ ecessaires pour trouver la bonne clef.
3. — Un processus de Bernoulli de param` etre p est une suite de variables
al´ eatoires (X n ) (n = 1, 2, . . . ) ind´ ependantes et ne prenant chacune que deux
valeurs (par exemple 1 et 0) avec la probabilit´ e p et q = 1−p. Il est commode
d’interpr´ eter X n comme le r´ esultat (succ` es ou ´ echec) au n
i` eme essai d’une
mˆ eme exp´ erience que l’on r´ ep` ete ind´ efiniment de telle sorte que les conditions
soient toujours les mˆ emes et que les r´ esultats des diff´ erents essais soient sans
influence mutuelle.
a) Montrer que la loi de la variable al´ eatoire S n = X 1 +· · ·+X n (nombre
de succ` es aux n premiers essais) est la loi binomiale B(n, p). Retrouver sans
calcul l’esp´ erance math´ ematique et la variance de cette loi.
b) Soit L le plus grand entier tel que X 1 = X 2 = · · · = X L et M
le plus grand entier tel que X L+1 = X L+2 = · · · = X L+M . Trouver les
lois des variables al´ eatoires L et M , leurs esp´ erances math´ ematiques et leurs
variances. Montrer que les lois de L et M co¨ ıncident si et seulement si p = 1/2.
c) (E. Kosmanek) Montrer que E[L] ≥ E[M ] = 2, Var L ≥ Var M ≥ 2,
Cov(L, M ) = −(p − q)
2 /(pq) et −1/2 ≤ r(L, M ) ≤ 0.
d) (E. Kosmanek) Montrer que pour tout n ≥ 1 on a
lim
l→∞
P{M = n | L = l} =
p
n−1 q, si p < 1/2 ;
q
n−1 p, si p > 1/2 ;
1/2
n ,
si p = 1/2.
e) Soit T le nombre d’´ echecs pr´ ec´ edant le premier succ` es, i.e. le plus petit
entier T tel que X T +1 = 1. Montrer que P T =
k≥0 pq
k ε k (loi g´ eom´ etrique
modifi´ ee) et calculer E[T ].
f) Plus g´ en´ eralement, si r est un entier au moins ´ egal ` a 1, soit T r le
nombre d’´ echecs pr´ ec´ edant le r
i` eme succ` es. Montrer que
P{T r = k} =
r + k − 1
k
p
r q
k =
−r
k
p
r (−q)
k
(loi binomiale n´ egative) et que E[T r ] = rq/p.