96 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
4. — On reprend l’exercice 2 en supposant que le concierge remet apr` es
chaque ´ echec la clef essay´ ee dans le trousseau. On a donc un processus de
Bernoulli avec p = 1/n. Calculer dans ce cas l’esp´ erance math´ ematique du
nombre d’essais pour trouver la bonne clef.
5. — Si X est une variable al´ eatoire prenant les valeurs x k et A un
´ ev` enement de probabilit´ e non nulle, on pose :
E[X | A] =
k
x k P{X = x k | A}.
Soit (B n ) (n = 1, 2, . . . ) un syst` eme complet d’´ ev` enements. Montrer que
E[X] =
n
P(B n )E[X | B n ].
6. — Soient (X n ) (n = 1, 2, . . . ) une suite de variables al´ eatoires de
mˆ eme loi et N une variable al´ eatoire ` a valeurs enti` eres telles que les termes
de la suite N, X 1 , X 2 , . . . soient mutuellement ind´ ependants. On pose S N =
X 1 + · · · + X N . En utilisant l’exercice pr´ ec´ edent et la proposition 6.2 du
chapitre 6, ´ etablir la formule de Wald : E[S N ] = E[N ] E[X 1 ].
7. — Soit (Z n ) (n = 1, 2, . . . ) une suite de variables al´ eatoires ne
prenant que deux valeurs, disons 0 et 1. Montrer que si les ´ ev` enements
{Z n = 0} (n = 1, 2, . . . ) sont ind´ ependants, les variables al´ eatoires Z n sont
mutuellement ind´ ependantes.
8. — Un joueur poss´ edant a pi` eces de monnaie diff´ erenci´ ees joue une suite
de parties, chaque partie consistant `
a lancer toutes les pi` eces. On se propose
de calculer le nombre moyen de pi` eces ayant amen´ e au moins une fois pile
au cours des n premi` eres parties, ainsi que le nombre minimum moyen de
parties qu’il faut jouer pour que chaque pi` ece am` ene au moins une fois pile.
Pour n = 1, 2, . . . , consid´ erons la variable al´ eatoire ξ
n
i , ´ egale ` a 1 ou 0
suivant qu’` a la n
i` eme partie la i
i` eme pi` ece a amen´ e pile ou face. On fait
l’hypoth` ese que les variables al´ eatoires ξ
n
i (i = 1, 2, . . . , a ; n = 1, 2, . . . )
sont ind´ ependantes et ont la mˆ eme loi :
1
2 (ε 0 + ε 1 ).
Appelons Y n le nombre de pi` eces ayant amen´ e pile pour la premi` ere fois
` a la n
i` eme partie et X n le nombre de pi` eces ayant amen´ e au moins une fois
pile au cours des n premi` eres parties. On a les relations X n = Y 1 + · · · + Y n
et Y n =
i∈A n
ξ
n
i , o` u A n est l’ensemble des i tels que ξ
1
i = · · · = ξ
n−1
i
= 0.
a) Montrer que card A n = a − X n−1 . En d´ eduire `
a l’aide de l’exercice 6
la relation E[X n ] =
1
2 E[X n−1 ] + (a/2). Calculer E[X n ].
b) Pour n fix´ e et 1 ≤ i ≤ a appelons Z i la variable prenant la valeur 1 ou
0 suivant qu’au cours des n premi` eres parties la i
i` eme pi` ece a donn´ e au moins
une fois pile ou non, soit Z i = sup 1≤k≤n ξ
k
i . On a aussi X n = Z 1 + · · · + Z a .
Montrer que les Z i sont ind´ ependantes (pour n fix´ e). Trouver leur loi et en
d´ eduire que : P{X n = k} =
a
k
1 −
1
2 n
k
1
2 n
a−k
. Retrouver la valeur
de E[X n ] et calculer Var X n .
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
4. — On reprend l’exercice 2 en supposant que le concierge remet apr` es
chaque ´ echec la clef essay´ ee dans le trousseau. On a donc un processus de
Bernoulli avec p = 1/n. Calculer dans ce cas l’esp´ erance math´ ematique du
nombre d’essais pour trouver la bonne clef.
5. — Si X est une variable al´ eatoire prenant les valeurs x k et A un
´ ev` enement de probabilit´ e non nulle, on pose :
E[X | A] =
k
x k P{X = x k | A}.
Soit (B n ) (n = 1, 2, . . . ) un syst` eme complet d’´ ev` enements. Montrer que
E[X] =
n
P(B n )E[X | B n ].
6. — Soient (X n ) (n = 1, 2, . . . ) une suite de variables al´ eatoires de
mˆ eme loi et N une variable al´ eatoire ` a valeurs enti` eres telles que les termes
de la suite N, X 1 , X 2 , . . . soient mutuellement ind´ ependants. On pose S N =
X 1 + · · · + X N . En utilisant l’exercice pr´ ec´ edent et la proposition 6.2 du
chapitre 6, ´ etablir la formule de Wald : E[S N ] = E[N ] E[X 1 ].
7. — Soit (Z n ) (n = 1, 2, . . . ) une suite de variables al´ eatoires ne
prenant que deux valeurs, disons 0 et 1. Montrer que si les ´ ev` enements
{Z n = 0} (n = 1, 2, . . . ) sont ind´ ependants, les variables al´ eatoires Z n sont
mutuellement ind´ ependantes.
8. — Un joueur poss´ edant a pi` eces de monnaie diff´ erenci´ ees joue une suite
de parties, chaque partie consistant `
a lancer toutes les pi` eces. On se propose
de calculer le nombre moyen de pi` eces ayant amen´ e au moins une fois pile
au cours des n premi` eres parties, ainsi que le nombre minimum moyen de
parties qu’il faut jouer pour que chaque pi` ece am` ene au moins une fois pile.
Pour n = 1, 2, . . . , consid´ erons la variable al´ eatoire ξ
n
i , ´ egale ` a 1 ou 0
suivant qu’` a la n
i` eme partie la i
i` eme pi` ece a amen´ e pile ou face. On fait
l’hypoth` ese que les variables al´ eatoires ξ
n
i (i = 1, 2, . . . , a ; n = 1, 2, . . . )
sont ind´ ependantes et ont la mˆ eme loi :
1
2 (ε 0 + ε 1 ).
Appelons Y n le nombre de pi` eces ayant amen´ e pile pour la premi` ere fois
` a la n
i` eme partie et X n le nombre de pi` eces ayant amen´ e au moins une fois
pile au cours des n premi` eres parties. On a les relations X n = Y 1 + · · · + Y n
et Y n =
i∈A n
ξ
n
i , o` u A n est l’ensemble des i tels que ξ
1
i = · · · = ξ
n−1
i
= 0.
a) Montrer que card A n = a − X n−1 . En d´ eduire `
a l’aide de l’exercice 6
la relation E[X n ] =
1
2 E[X n−1 ] + (a/2). Calculer E[X n ].
b) Pour n fix´ e et 1 ≤ i ≤ a appelons Z i la variable prenant la valeur 1 ou
0 suivant qu’au cours des n premi` eres parties la i
i` eme pi` ece a donn´ e au moins
une fois pile ou non, soit Z i = sup 1≤k≤n ξ
k
i . On a aussi X n = Z 1 + · · · + Z a .
Montrer que les Z i sont ind´ ependantes (pour n fix´ e). Trouver leur loi et en
d´ eduire que : P{X n = k} =
a
k
1 −
1
2 n
k
1
2 n
a−k
. Retrouver la valeur
de E[X n ] et calculer Var X n .