COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
97
9. — A l’entr´ ee d’un restaurant, n personnes donnent leurs chapeaux
` a la consigne. Apr` es le repas, elles trouvent leurs chapeaux compl` etement
m´ elang´ es et chacune prend un chapeau au hasard. On d´ esigne par X k
(k = 1, 2, . . . , n) la variable al´ eatoire qui prend la valeur 1, si la k
i` eme personne
r´ ecup` ere son chapeau et ` a 0 sinon. On pose S n = X 1 +· · ·+X n , qui repr´ esente
le nombre de personnes qui ont r´ ecup´ er´ e leur chapeau.
a) Construire un espace probabilis´ e d´ ecrivant cette exp´ erience.
b) Calculer E[S n ] et Var S n .
c) Montrer que la probabilit´ e pour que S n soit au moins ´ egal ` a 11 est
au plus ´ egale ` a 0, 01 et ceci quel que soit n ≥ 11.
10. — Soit (X, Y, Z) un triplet de variables al´ eatoires v´ erifiant X + Y +
Z = 1. On suppose que l’on a : Var X ≤ Var Y ≤ Var Z < +∞. Montrer que
a) la variable Z est en corr´ elation n´ egative avec X ainsi qu’avec Y ;
b) l’on a Cov(X, Y ) ≥ 0 si et seulement si Var X + Var Y ≤ Var Z ;
c) l’on a : |Cov(X, Z)| ≤ |Cov(Y, Z)|.
11. — Une variable al´ eatoire X, de loi inconnue, a une esp´ erance
math´ ematique µ = 10 et un ´ ecart-type σ = 5. Montrer que pour tout n ≥ 50
la probabilit´ e de l’´ ev` enement {10 − n < X < 10 + n} est au moins ´ egale
` a 0, 99.
12. — Soit X une variable al´ eatoire. Montrer que si E[ |X| ] = 0, alors
X = 0 p.s. On a la mˆ eme conclusion en supposant E[X
2 ] = 0.
13. — Soient a, b deux nombres r´ eels strictement positifs. On pose :
A =
a + b
2
, G =
√
ab, H =
1
2
1
a
+
1
b
−1
.
Montrer que H ≤ G ≤ A et que G =
√
AH. (G est la moyenne g´ eom´ etrique
de A et de H.)
14. — Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs positives telle que E[X] <
+∞, E[1/X] < +∞. Montrer que E[X] E[1/X] ≥ 1.
15. — Soient X une variable al´ eatoire et r un nombre r´ eel strictement
positif tels que E[ |X|
r ] < +∞. Montrer que P{ |X| ≥ n} = o(1/n
r ), lorsque
n tend vers +∞.
16. — Soit (X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 ) un syst` eme de quatre variables al´ eatoires
admettant un moment du second ordre. Montrer que si (X 1 , X 2 ) est ind´ ependant de (Y 1 , Y 2 ), alors Cov(X 1 + Y 1 , X 2 + Y 2 ) = Cov(X 1 , X 2 ) + Cov(Y 1 , Y 2 ).
17. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires indicatrices sur un
espace probabilis´ e (Ω, A, P), c’est-` a-dire X = I A , Y = I B , o` u A, B ∈ A.
Montrer que X et Y sont ind´ ependantes si et seulement si elles sont non
corr´ el´ ees.
EMENTS ET EXERCICES
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9. — A l’entr´ ee d’un restaurant, n personnes donnent leurs chapeaux
` a la consigne. Apr` es le repas, elles trouvent leurs chapeaux compl` etement
m´ elang´ es et chacune prend un chapeau au hasard. On d´ esigne par X k
(k = 1, 2, . . . , n) la variable al´ eatoire qui prend la valeur 1, si la k
i` eme personne
r´ ecup` ere son chapeau et ` a 0 sinon. On pose S n = X 1 +· · ·+X n , qui repr´ esente
le nombre de personnes qui ont r´ ecup´ er´ e leur chapeau.
a) Construire un espace probabilis´ e d´ ecrivant cette exp´ erience.
b) Calculer E[S n ] et Var S n .
c) Montrer que la probabilit´ e pour que S n soit au moins ´ egal ` a 11 est
au plus ´ egale ` a 0, 01 et ceci quel que soit n ≥ 11.
10. — Soit (X, Y, Z) un triplet de variables al´ eatoires v´ erifiant X + Y +
Z = 1. On suppose que l’on a : Var X ≤ Var Y ≤ Var Z < +∞. Montrer que
a) la variable Z est en corr´ elation n´ egative avec X ainsi qu’avec Y ;
b) l’on a Cov(X, Y ) ≥ 0 si et seulement si Var X + Var Y ≤ Var Z ;
c) l’on a : |Cov(X, Z)| ≤ |Cov(Y, Z)|.
11. — Une variable al´ eatoire X, de loi inconnue, a une esp´ erance
math´ ematique µ = 10 et un ´ ecart-type σ = 5. Montrer que pour tout n ≥ 50
la probabilit´ e de l’´ ev` enement {10 − n < X < 10 + n} est au moins ´ egale
` a 0, 99.
12. — Soit X une variable al´ eatoire. Montrer que si E[ |X| ] = 0, alors
X = 0 p.s. On a la mˆ eme conclusion en supposant E[X
2 ] = 0.
13. — Soient a, b deux nombres r´ eels strictement positifs. On pose :
A =
a + b
2
, G =
√
ab, H =
1
2
1
a
+
1
b
−1
.
Montrer que H ≤ G ≤ A et que G =
√
AH. (G est la moyenne g´ eom´ etrique
de A et de H.)
14. — Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs positives telle que E[X] <
+∞, E[1/X] < +∞. Montrer que E[X] E[1/X] ≥ 1.
15. — Soient X une variable al´ eatoire et r un nombre r´ eel strictement
positif tels que E[ |X|
r ] < +∞. Montrer que P{ |X| ≥ n} = o(1/n
r ), lorsque
n tend vers +∞.
16. — Soit (X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 ) un syst` eme de quatre variables al´ eatoires
admettant un moment du second ordre. Montrer que si (X 1 , X 2 ) est ind´ ependant de (Y 1 , Y 2 ), alors Cov(X 1 + Y 1 , X 2 + Y 2 ) = Cov(X 1 , X 2 ) + Cov(Y 1 , Y 2 ).
17. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires indicatrices sur un
espace probabilis´ e (Ω, A, P), c’est-` a-dire X = I A , Y = I B , o` u A, B ∈ A.
Montrer que X et Y sont ind´ ependantes si et seulement si elles sont non
corr´ el´ ees.