98 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
18. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires tel que Var X =
Var Y < +∞. Montrer qu’alors les variables al´ eatoires X + Y et X − Y sont
non corr´ el´ ees.
19 (L’esp´ erance comme approximation d’un param` etre). — Une urne
contient des boules num´ erot´ ees de 1 ` a N . On effectue n tirages (avec remise)
et l’on d´ esigne par X le plus grand num´ ero amen´ e. On peut consid´ erer X
comme une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {1, . . . , N}, dont la fonction de
r´ epartition et l’esp´ erance sont donn´ ees par
P{X ≤ k} = P{les n nombres amen´ es sont ≤ k} =
k
N
n
(k ∈ {1, . . . , N}).
E[X] =
N −1
k=0
P{X > k} =
N −1
k=0
1 − P{X ≤ k}
= N −
1
N n
N −1
k=0
k
n .
Or
N −1
k=0
k
n
∼ N
n+1 /(n + 1), d’o` u E[X] ∼ (n/(n + 1))N . On voit que pour
de grandes valeurs de n l’esp´ erance E[X] fournit une bonne approximation
du nombre N de boules de l’urne. (En pratique, pour estimer N , on prendra
plutˆ ot X, le plus grand num´ ero amen´ e, que E[X].)
20. — Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, A, B deux ´ el´ ements de A
et I A , I B les fonctions indicatrices de A, B.
a) On a Cov(I A , I B ) = P(A ∩ B) − P(A)P(B).
α) Cov(I A , I B ) = 0 si et seulement si A et B sont ind´ ependants.
β) Cov(I A c , I B ) = − Cov(I A , I B ) (noter que I A c = 1 − I A ).
b) On a σ
2 (I A ) = Var(I A ) = P(A)(1 − P(A)), d’o` u Var(I A c ) = Var(I A ).
c) Si 0 < P(A), P(B) < 1, on peut d´ efinir le coefficient de corr´ elation
lin´ eaire du couple (I A , I B ) (voir § 7). Alors
α) r(I A c , I B ) = −r(I A , I B ) ;
β) r(I A , I B ) = 1 si et seulement si B = A et r(I A , I B ) = −1 si et
seulement si B = A
c .
Cet exercice ne contenant que de simples v´ erifications est donn´ e sans d´ emonstration.
21. — Soit X une variable al´ eatoire de Bernoulli : qε 0 + pε 1 (p, q ≥
0; p + q = 1).
a) Si p = q, alors X admet une m´ ediane et une seule M , ´ egale ` a 0 si
p < q, ´ egale ` a 1 si p > q.
b) Si p = q =
1
2 , tout nombre de l’intervalle [0, 1] est une m´ ediane de X.
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
18. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires tel que Var X =
Var Y < +∞. Montrer qu’alors les variables al´ eatoires X + Y et X − Y sont
non corr´ el´ ees.
19 (L’esp´ erance comme approximation d’un param` etre). — Une urne
contient des boules num´ erot´ ees de 1 ` a N . On effectue n tirages (avec remise)
et l’on d´ esigne par X le plus grand num´ ero amen´ e. On peut consid´ erer X
comme une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {1, . . . , N}, dont la fonction de
r´ epartition et l’esp´ erance sont donn´ ees par
P{X ≤ k} = P{les n nombres amen´ es sont ≤ k} =
k
N
n
(k ∈ {1, . . . , N}).
E[X] =
N −1
k=0
P{X > k} =
N −1
k=0
1 − P{X ≤ k}
= N −
1
N n
N −1
k=0
k
n .
Or
N −1
k=0
k
n
∼ N
n+1 /(n + 1), d’o` u E[X] ∼ (n/(n + 1))N . On voit que pour
de grandes valeurs de n l’esp´ erance E[X] fournit une bonne approximation
du nombre N de boules de l’urne. (En pratique, pour estimer N , on prendra
plutˆ ot X, le plus grand num´ ero amen´ e, que E[X].)
20. — Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, A, B deux ´ el´ ements de A
et I A , I B les fonctions indicatrices de A, B.
a) On a Cov(I A , I B ) = P(A ∩ B) − P(A)P(B).
α) Cov(I A , I B ) = 0 si et seulement si A et B sont ind´ ependants.
β) Cov(I A c , I B ) = − Cov(I A , I B ) (noter que I A c = 1 − I A ).
b) On a σ
2 (I A ) = Var(I A ) = P(A)(1 − P(A)), d’o` u Var(I A c ) = Var(I A ).
c) Si 0 < P(A), P(B) < 1, on peut d´ efinir le coefficient de corr´ elation
lin´ eaire du couple (I A , I B ) (voir § 7). Alors
α) r(I A c , I B ) = −r(I A , I B ) ;
β) r(I A , I B ) = 1 si et seulement si B = A et r(I A , I B ) = −1 si et
seulement si B = A
c .
Cet exercice ne contenant que de simples v´ erifications est donn´ e sans d´ emonstration.
21. — Soit X une variable al´ eatoire de Bernoulli : qε 0 + pε 1 (p, q ≥
0; p + q = 1).
a) Si p = q, alors X admet une m´ ediane et une seule M , ´ egale ` a 0 si
p < q, ´ egale ` a 1 si p > q.
b) Si p = q =
1
2 , tout nombre de l’intervalle [0, 1] est une m´ ediane de X.