CHAPITRE 9
FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
Dans ce chapitre, on ´ etudie plus particuli` erement les mesures de probabilit´ e discr` etes port´ ees par les entiers positifs et les variables al´ eatoires ayant
pour loi ces mesures. Comme il sera expliqu´ e, on peut ainsi envoyer bijectivement ces mesures sur des s´ eries de puissances et utiliser ensuite l’analyse classique des s´ eries pour calculer les valeurs caract´ eristiques de ces lois,
comme l’esp´ erance math´ ematique et les moments.
1. D´ efinitions. — On d´ esigne par M l’ensemble des mesures de probabilit´ e de la forme
P =
∞
i=0
α i ε i
et par M
l’ensemble des variables al´ eatoires r´ eelles (discr` etes) d´ efinies sur
un espace probabilis´ e (Ω, A, P) et dont la loi de probabilit´ e appartient `
a M.
Suivant la d´ efinition donn´ ee au chapitre pr´ ec´ edent, le produit de convolution
de P par la mesure de probabilit´ e Q =
∞
j=0 β j ε j est la mesure de probabilit´ e
(1.1)
P ∗ Q =
∞
i=0
∞
j=0
α i β j ε (i+j) .
On peut encore ´ ecrire :
P ∗ Q =
∞
k=0
γ k ε k ,
avec
γ k =
k
i=0
α i β k−i (k ≥ 0).
Proposition 1.1. — Soient P, Q, R, . . . des mesures de probabilit´ e de
la classe M ; on a les propri´ et´ es :
(i)
P ∗ Q ∈ M ;
(ii)
P ∗ Q = Q ∗ P ;
(iii)
P ∗ (Q ∗ R) = (P ∗ Q) ∗ R ;
(iv)
P ∗ ε 0 = ε 0 ∗ P = P ;
(v)
ε n ∗ ε m = ε (n+m) pour n ≥ 0 et m ≥ 0.
Ces propri´ et´ es r´ esultent imm´ ediatement de la d´ efinition du produit de
convolution qui prend la forme (1.1) pour les mesures de probabilit´ e appartenant `
a M.