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CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
D’apr` es (iii) on peut poser pour tout P ∈ M
P
1∗ = P
et
P
n∗ = P ∗ P
(n−1)∗ pour n ≥ 2.
En particulier
ε
n∗
1 = ε n
pour tout n ≥ 1.
La proposition suivante est alors une cons´ equence de cette derni` ere propri´ et´ e et de la Proposition 3.2 du chapitre 8.
Proposition 1.2. — Soit P une mesure de probabilit´ e appartenant ` a M.
La somme S n de n (n ≥ 1) variables al´ eatoires r´ eelles, discr` etes, mutuellement ind´ ependantes et de mˆ eme loi ´ egale `
a P a pour loi de probabilit´ e P
n∗ .
D´ esignons par M(s) l’ensemble des s´ eries de puissances ` a une ind´ etermin´ ee s dont les coefficients sont r´ eels, positifs et de somme 1 ; soit, par
cons´ equent,
M(s) =
∞
i=0
α i s
i : α i ≥ 0,
∞
i=0
α i = 1
.
De nouveau, la proposition suivante est une cons´ equence imm´ ediate de la
d´ efinition du produit de convolution pour les ´ el´ ements de M, en se rappelant
que dans M(s) le produit de deux s´ eries de puissances respecte les r` egles
usuelles de distributivit´ e pour le produit de deux sommes et le calcul sur les
puissances : s
i s
j = s
i+j .
Proposition 1.3. — L’application P → G P (s), qui, `
a la mesure de
probabilit´ e P =
∞
i=0 α i ε i , de la classe M fait correspondre la s´ erie de
puissances
(1.2)
G P (s) =
∞
i=0
α i s
i ,
est une bijection de M sur M(s) satisfaisant `
a
(1.3)
G P∗Q (s) = G P (s) G Q (s),
pour tout P, Q appartenant ` a la classe M.
La s´ erie de puissances G P (s), donn´ ee en (1.2), est appel´ ee fonction
g´ en´ eratrice de la mesure de probabilit´ e P. Si X est une variable al´ eatoire
dont la loi P appartient `
a M, on note aussi G X (s) la fonction g´ en´ eratrice de
la loi P et par abus de langage on parle de fonction g´ en´ eratrice de la variable
al´ eatoire X.
Remarque. — La fonction g´ en´ eratrice G P (s) =
∞
i=0 α i s
i converge
absolument et sa somme G P (s) est une fonction continue de s dans l’intervalle
[−1, +1] pour s r´ eel (resp. dans le disque |s| ≤ 1 pour s complexe). Elle admet,
d’autre part, des d´ eriv´ ees de tous les ordres que l’on obtient comme sommes
des s´ eries d´ eriv´ ees, pour tout s tel que |s| < 1. On pourra ainsi faire appel aux
techniques de d´ erivation et d’int´ egration des s´ eries de puissances pour obtenir
des propri´ et´ es sur les valeurs typiques comme l’esp´ erance math´ ematique ou
les moments.
CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
D’apr` es (iii) on peut poser pour tout P ∈ M
P
1∗ = P
et
P
n∗ = P ∗ P
(n−1)∗ pour n ≥ 2.
En particulier
ε
n∗
1 = ε n
pour tout n ≥ 1.
La proposition suivante est alors une cons´ equence de cette derni` ere propri´ et´ e et de la Proposition 3.2 du chapitre 8.
Proposition 1.2. — Soit P une mesure de probabilit´ e appartenant ` a M.
La somme S n de n (n ≥ 1) variables al´ eatoires r´ eelles, discr` etes, mutuellement ind´ ependantes et de mˆ eme loi ´ egale `
a P a pour loi de probabilit´ e P
n∗ .
D´ esignons par M(s) l’ensemble des s´ eries de puissances ` a une ind´ etermin´ ee s dont les coefficients sont r´ eels, positifs et de somme 1 ; soit, par
cons´ equent,
M(s) =
∞
i=0
α i s
i : α i ≥ 0,
∞
i=0
α i = 1
.
De nouveau, la proposition suivante est une cons´ equence imm´ ediate de la
d´ efinition du produit de convolution pour les ´ el´ ements de M, en se rappelant
que dans M(s) le produit de deux s´ eries de puissances respecte les r` egles
usuelles de distributivit´ e pour le produit de deux sommes et le calcul sur les
puissances : s
i s
j = s
i+j .
Proposition 1.3. — L’application P → G P (s), qui, `
a la mesure de
probabilit´ e P =
∞
i=0 α i ε i , de la classe M fait correspondre la s´ erie de
puissances
(1.2)
G P (s) =
∞
i=0
α i s
i ,
est une bijection de M sur M(s) satisfaisant `
a
(1.3)
G P∗Q (s) = G P (s) G Q (s),
pour tout P, Q appartenant ` a la classe M.
La s´ erie de puissances G P (s), donn´ ee en (1.2), est appel´ ee fonction
g´ en´ eratrice de la mesure de probabilit´ e P. Si X est une variable al´ eatoire
dont la loi P appartient `
a M, on note aussi G X (s) la fonction g´ en´ eratrice de
la loi P et par abus de langage on parle de fonction g´ en´ eratrice de la variable
al´ eatoire X.
Remarque. — La fonction g´ en´ eratrice G P (s) =
∞
i=0 α i s
i converge
absolument et sa somme G P (s) est une fonction continue de s dans l’intervalle
[−1, +1] pour s r´ eel (resp. dans le disque |s| ≤ 1 pour s complexe). Elle admet,
d’autre part, des d´ eriv´ ees de tous les ordres que l’on obtient comme sommes
des s´ eries d´ eriv´ ees, pour tout s tel que |s| < 1. On pourra ainsi faire appel aux
techniques de d´ erivation et d’int´ egration des s´ eries de puissances pour obtenir
des propri´ et´ es sur les valeurs typiques comme l’esp´ erance math´ ematique ou
les moments.