2. PROPRI ´
ET ´
ES
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Th´ eor` eme 1.4 (th´ eor` eme d’unicit´ e). — La fonction g´ en´ eratrice d’une
variable al´ eatoire (` a valeurs enti` eres positives) d´ etermine la loi de cette
variable. En d’autres termes, si deux variables al´ eatoires (` a valeurs enti` eres
positives) admettent mˆ eme fonction g´ en´ eratrice, alors elles ont mˆ eme loi.
D´ emonstration. — Soit X une variables al´ eatoire ` a valeurs dans N. Posons
p k = P{X = k} (k ≥ 0) et d´ esignons par G(s) la fonction g´ en´ eratrice de X,
soit
(1.4)
G(s) =
k≥0
p k s
k .
Nous allons montrer que l’on peut d´ eterminer la suite (p k ) (k ≥ 0) `
a partir de
la fonction G. En effet, on a, en se servant du fait que l’on peut d´ eriver (1.4)
terme ` a terme dans l’intervalle ] − 1, +1[ :
G(0) = p 0 ;
G
(s) =
k≥0
kp k s
k−1 =
k≥1
kp k s
k−1 ,
G
(0) = p 1 ;
G
(s) =
k≥0
k(k − 1)p k s
k−2 =
k≥2
k(k − 1)p k s
k−2 , G
(0) = 2p 2 ;
. . . . . .
G
(n) (s) =
k≥0
k(k − 1) . . . (k − n + 1)p k s
k−n
=
k≥n
k(k − 1) . . . (k − n + 1)p k s
k−n , G
(n) (0) = n! p n (n ≥ 0).
On a donc, pour tout n ≥ 0, l’identit´ e G
(n) (0) = n! p n ; d’o` u il r´ esulte que la
connaissance de G d´ etermine celle de la loi (p k ) (k ≥ 0) de X.
2. Propri´ et´ es. — Donnons tout d’abord une premi` ere propri´ et´ e montrant
que l’esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire de la famille M
peut
aussi se calculer ` a l’aide de la s´ erie de terme g´ en´ eral P{X > i} (i ≥ 0).
Proposition 2.1. — Soit X une variable al´ eatoire de la classe M
. Alors
l’identit´ e
(2.1)
∞
i=1
i P{X = i} =
∞
i=0
P{X > i},
est valable dans la demi-droite achev´ ee [0, +∞]. Si l’une des s´ eries figurant
dans cette identit´ e est convergente, il en est de mˆ eme de l’autre et la valeur
commune de leurs sommes est l’esp´ erance math´ ematique E[X].
D´ emonstration. — Pour chaque i ≥ 0 posons α i = P{X = i}. On a, dans
[0, +∞],
(2.2)
i≥0
P{X > i} =
i≥1
P{X ≥ i} =
i≥1
j≥i
α j
.