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CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
Le dernier membre est une s´ erie double it´ er´ ee, `
a termes positifs. En ´ echangeant l’ordre des sommations, ce qui est licite en vertu du th´ eor` eme de Fubini,
il vient, toujours dans [0, +∞]
i≥1
j≥i
α j
=
j≥1
1≤i≤j
α j
=
j≥1
j α j .
Remarque. — On peut d´ emontrer la Proposition 2.1 comme suit : toutes
les ´ egalit´ es ´ etant dans [0, +∞], on a X =
∞
i=0
I {X>i} , d’o` u, en prenant
l’esp´ erance math´ ematique et en intervertissant les signes E et
(ce qui
est licite, toutes les quantit´ es ´ etant positives), il vient :
E[X] =
∞
i=0
E[I {X>i} ] =
∞
i=0
P{X > i}.
La pr´ ec´ edente propri´ et´ e sugg` ere l’introduction d’une seconde fonction
g´ en´ eratrice associ´ ee ` a X et d´ efinie par :
(2.3)
H X (s) =
∞
i=0
P{X > i} s
i .
Si l’on consid` ere s comme une variable r´ eelle, cette s´ erie est convergente dans
l’intervalle ouvert ] − 1, +1[ et la relation fonctionnelle entre G X (s) et H X (s)
est donn´ ee dans la proposition suivante.
Proposition 2.2. — Pour |s| < 1, on a :
H X (s) =
1 − G X (s)
1 − s
.
D´ emonstration. — Reprenons les notations de la d´ emonstration de la
Proposition 2.1. Pour i ≥ 1 le coefficient de s
i dans le produit (1 − s)H X (s)
est ´ egal ` a β i − β i−1 , c’est-` a-dire −α i et le coefficient de s
0 vaut β 0 = 1 − α 0 .
On a donc bien : (1 − s)H X (s) = 1 − G X (s).
Si l’on connaˆ ıt l’expression de G X (s) ou de H X (s), on peut d´ eterminer
l’esp´ erance math´ ematique de X et de ses moments — du moins, dans
certaines conditions — comme on va le voir.
Proposition 2.3. — La fonction g´ en´ eratrice G X (s) admet une d´ eriv´ ee
` a gauche G
X (1) en s = 1, si et seulement si E[X] existe et est fini, et l’on a :
(2.4)
E[X] = G
X (1).
En outre, la fonction H X (s) admet une limite `
a gauche H X (1) en s = 1, si
et seulement si E[X] existe et est fini, et l’on a :
(2.5)
E[X] = H X (1).
CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
Le dernier membre est une s´ erie double it´ er´ ee, `
a termes positifs. En ´ echangeant l’ordre des sommations, ce qui est licite en vertu du th´ eor` eme de Fubini,
il vient, toujours dans [0, +∞]
i≥1
j≥i
α j
=
j≥1
1≤i≤j
α j
=
j≥1
j α j .
Remarque. — On peut d´ emontrer la Proposition 2.1 comme suit : toutes
les ´ egalit´ es ´ etant dans [0, +∞], on a X =
∞
i=0
I {X>i} , d’o` u, en prenant
l’esp´ erance math´ ematique et en intervertissant les signes E et
(ce qui
est licite, toutes les quantit´ es ´ etant positives), il vient :
E[X] =
∞
i=0
E[I {X>i} ] =
∞
i=0
P{X > i}.
La pr´ ec´ edente propri´ et´ e sugg` ere l’introduction d’une seconde fonction
g´ en´ eratrice associ´ ee ` a X et d´ efinie par :
(2.3)
H X (s) =
∞
i=0
P{X > i} s
i .
Si l’on consid` ere s comme une variable r´ eelle, cette s´ erie est convergente dans
l’intervalle ouvert ] − 1, +1[ et la relation fonctionnelle entre G X (s) et H X (s)
est donn´ ee dans la proposition suivante.
Proposition 2.2. — Pour |s| < 1, on a :
H X (s) =
1 − G X (s)
1 − s
.
D´ emonstration. — Reprenons les notations de la d´ emonstration de la
Proposition 2.1. Pour i ≥ 1 le coefficient de s
i dans le produit (1 − s)H X (s)
est ´ egal ` a β i − β i−1 , c’est-` a-dire −α i et le coefficient de s
0 vaut β 0 = 1 − α 0 .
On a donc bien : (1 − s)H X (s) = 1 − G X (s).
Si l’on connaˆ ıt l’expression de G X (s) ou de H X (s), on peut d´ eterminer
l’esp´ erance math´ ematique de X et de ses moments — du moins, dans
certaines conditions — comme on va le voir.
Proposition 2.3. — La fonction g´ en´ eratrice G X (s) admet une d´ eriv´ ee
` a gauche G
X (1) en s = 1, si et seulement si E[X] existe et est fini, et l’on a :
(2.4)
E[X] = G
X (1).
En outre, la fonction H X (s) admet une limite `
a gauche H X (1) en s = 1, si
et seulement si E[X] existe et est fini, et l’on a :
(2.5)
E[X] = H X (1).