2. PROPRI ´
ET ´
ES
103
Pour d´ emontrer cette proposition, il est bon de faire appel au lemme
d’Abel, qu’on peut ´ enoncer de la fa¸ con suivante.
Lemme (Abel)
1) Si la s´ erie
i
α i (i ≥ 0) est convergente de somme α, alors
lim
s→1−0
∞
i=0
α i s
i =
∞
i=0
α i = α.
2) Si les α i sont positifs et si lim
s→1−0
∞
i=0
α i s
i = α ≤ +∞, alors
∞
i=0
α i = α.
D´ emonstration
1) Il s’agit de montrer que lim
s→1−0
∞
i=0
α i (s
i
− 1)
= 0. Comme la s´ erie de
terme g´ en´ eral α i converge, `
a tout ε > 0 on peut associer N (ε) tel que pour
tout N
≥ N on ait
N ≤i≤N
α i
≤ ε/4. Choisissons un tel N ; il vient
∞
i=0
α i (s
i
− 1)
≤
N
i=0
α i (s
i
− 1)
+
∞
i=N +1
α i (s
i
− 1)
.
Or pour tout s ∈ [0, 1[ on a
N
i=0
α i (s
i
− 1)
≤ MN
s
N
− 1
o` u M = max
0≤i≤N
|α i | < +∞,
de sorte que, pour s suffisamment voisin de 1, on a :
N
i=0
α i (s
i
− 1)
<
ε
2
.
Pour majorer le second terme du membre de droite, on effectue la sommation
par parties (pr´ ecis´ ement due ` a Abel). En posant A i =
k≥i
α k , il vient :
∞
i=N +1
α i (s
i
− 1)
=
∞
i=N +1
(A i − A i+1 )(s
i
− 1)
=
A N +1 (s
N +1
− 1) +
∞
i=N +2
A i (s
i
− s
i−1 )
≤
ε
4
s
N +1
− 1
+
ε
4
s
N +1 <
ε
2
.
On obtient finalement
∞
i=0
α i (s
i
− 1)
< ε pourvu que s soit suffisamment
voisin de 1.
2) Puisque
∞
i=0
α i s
i
≤
∞
i=0
α i pour 0 < s < 1, le cas α = +∞ est
´ evident. Supposons α fini. D’apr` es l’hypoth` ese, on a
∞
i=0
α i s
i < α < +∞ pour