104
CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
0 < s < 1 ; on en d´ eduit, pour tout n ≥ 1, l’in´ egalit´ e
n
i=0
α i ≤ α. Comme
n
i=0
α i est une fonction de n born´ ee et croissante, elle tend vers une limite,
soit α
. On peut alors appliquer la premi` ere partie du Lemme et en d´ eduire
α
= α.
La d´ emonstration de la Proposition 2.3 se pr´ esente alors ainsi : si E[X]
est finie, alors la s´ erie
i
iα i a une somme finie. Pour |s| < 1 on peut d´ eriver
terme ` a terme la s´ erie
i
α i s
i , pour obtenir G
X (s) =
∞
i=1
iα i s
i−1 . La premi` ere
partie du lemme d’Abel entraˆ ıne alors lim
s→1−0
G
X (s) =
∞
i=1
iα i = E[X]. Si
lim
s→1−0
∞
i=1
iα i s
i−1 = lim
s→1−0
G
X (s) = α, la seconde partie du lemme d’Abel
entraˆ ıne que la somme
∞
i=0
i α i est ´ egale ` a α, fini ou infini. La relation (2.4)
est donc satisfaite.
Pour |s| < 1, on a H X (s) =
1 − G X (s)
1 − s
=
G X (1) − G X (s)
1 − s
= G
X (σ), pour
s ≤ σ ≤ 1. Comme H X (s) et G
X (s) sont monotones, elles ont les mˆ emes
limites en 1, finie ou infinie.
Les propositions suivantes se prouvent de fa¸ con analogue. Nous ne reproduisons pas leur d´ emonstration.
Proposition 2.4. — La fonction G X (s) admet une d´ eriv´ ee ` a gauche
G
(r)
X (1) d’ordre r (r entier strictement positif ) en s = 1, si et seulement si
le moment factoriel d’ordre r, `
a savoir E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)], existe et
est fini. On a alors :
(2.6)
E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)] = G
(r)
X (1) ;
en particulier, pour r = 2, on a :
(2.7)
E[X(X − 1)] = G
X (1) = 2 H
X (1) ;
et par cons´ equent :
Var X = G
X (1) + G
X (1) −
G
X (1)
2
(2.8)
= 2 H
X (1) + H X (1) −
H X (1)
2 .
Proposition 2.5. — Supposons que la fonction G X (s) puisse ˆ etre
d´ evelopp´ ee en s´ erie de Taylor au voisinage de s = 1, ou, ce qui revient au
mˆ eme, que la fonction G X (1 + u) admette un tel d´ eveloppement au voisinage
de u = 0. Alors le moment factoriel d’ordre r ≥ 1 apparaˆ ıt comme coefficient
de u
r /r! dans ce d´ eveloppement, c’est-` a-dire,
G X (1 + u) = 1 +
r≥1
E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)]
u
r
r!
.
CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
0 < s < 1 ; on en d´ eduit, pour tout n ≥ 1, l’in´ egalit´ e
n
i=0
α i ≤ α. Comme
n
i=0
α i est une fonction de n born´ ee et croissante, elle tend vers une limite,
soit α
. On peut alors appliquer la premi` ere partie du Lemme et en d´ eduire
α
= α.
La d´ emonstration de la Proposition 2.3 se pr´ esente alors ainsi : si E[X]
est finie, alors la s´ erie
i
iα i a une somme finie. Pour |s| < 1 on peut d´ eriver
terme ` a terme la s´ erie
i
α i s
i , pour obtenir G
X (s) =
∞
i=1
iα i s
i−1 . La premi` ere
partie du lemme d’Abel entraˆ ıne alors lim
s→1−0
G
X (s) =
∞
i=1
iα i = E[X]. Si
lim
s→1−0
∞
i=1
iα i s
i−1 = lim
s→1−0
G
X (s) = α, la seconde partie du lemme d’Abel
entraˆ ıne que la somme
∞
i=0
i α i est ´ egale ` a α, fini ou infini. La relation (2.4)
est donc satisfaite.
Pour |s| < 1, on a H X (s) =
1 − G X (s)
1 − s
=
G X (1) − G X (s)
1 − s
= G
X (σ), pour
s ≤ σ ≤ 1. Comme H X (s) et G
X (s) sont monotones, elles ont les mˆ emes
limites en 1, finie ou infinie.
Les propositions suivantes se prouvent de fa¸ con analogue. Nous ne reproduisons pas leur d´ emonstration.
Proposition 2.4. — La fonction G X (s) admet une d´ eriv´ ee ` a gauche
G
(r)
X (1) d’ordre r (r entier strictement positif ) en s = 1, si et seulement si
le moment factoriel d’ordre r, `
a savoir E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)], existe et
est fini. On a alors :
(2.6)
E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)] = G
(r)
X (1) ;
en particulier, pour r = 2, on a :
(2.7)
E[X(X − 1)] = G
X (1) = 2 H
X (1) ;
et par cons´ equent :
Var X = G
X (1) + G
X (1) −
G
X (1)
2
(2.8)
= 2 H
X (1) + H X (1) −
H X (1)
2 .
Proposition 2.5. — Supposons que la fonction G X (s) puisse ˆ etre
d´ evelopp´ ee en s´ erie de Taylor au voisinage de s = 1, ou, ce qui revient au
mˆ eme, que la fonction G X (1 + u) admette un tel d´ eveloppement au voisinage
de u = 0. Alors le moment factoriel d’ordre r ≥ 1 apparaˆ ıt comme coefficient
de u
r /r! dans ce d´ eveloppement, c’est-` a-dire,
G X (1 + u) = 1 +
r≥1
E[X(X − 1) . . . (X − r + 1)]
u
r
r!
.