3. SOMME DE VARIABLES AL ´
EATOIRES
105
3. Somme de variables al´ eatoires. — On examine d’abord le cas o` u
le nombre de termes de cette somme est fix´ e, puis celui o` u ce nombre est
lui-mˆ eme al´ eatoire.
Proposition 3.1. — Si X et Y sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes, alors
(3.1)
G X+Y (s) = G X (s) G Y (s).
D´ emonstration. — En effet, si P et Q sont les lois de probabilit´ e de X
et de Y , alors la loi de X + Y est P ∗ Q. La proposition r´ esulte alors de la
Proposition 1.3.
Corollaire. — Si X 1 , X 2 , . . . , X n sont des variables al´ eatoires mutuellement ind´ ependantes et de mˆ eme loi, dont la fonction g´ en´ eratrice est G(s),
alors la fonction g´ en´ eratrice de S n = X 1 + X 2 + · · · + X n est donn´ ee par :
(3.2)
G S n (s) =
G(s)
n .
Nous ´ etudions maintenant le cas o` u l’on prend un nombre al´ eatoire de
variables al´ eatoires. Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires mutuellement
ind´ ependantes, de mˆ eme loi P X ∈ M, dont la fonction g´ en´ eratrice est G X (s)
et toutes d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P). Soit de plus N
une variable al´ eatoire, d´ efinie sur le mˆ eme espace, ind´ ependante des X n , de
loi P N ∈ M et dont la fonction g´ en´ eratrice est G N (s). On pose S 0 = 0,
S n = X 1 + · · · + X n (n ≥ 1) et l’on consid` ere la variable al´ eatoire :
S N : ω −→ S N (ω) (ω) = X 1 (ω) + · · · + X N (ω) (ω).
En fait, pour d´ efinir S N , il faut introduire un produit (infini) d’espaces
probabilis´ es, mais seul le calcul de la fonction g´ en´ eratrice de S N nous importe
ici.
Pour tout entier j ≥ 0, on peut ´ ecrire
{S N = j} =
∞
n=0
{S N = j, N = n} =
∞
n=0
{X 1 + · · · + X n = j, N = n}.
Ceci montre, en particulier, que S N est une variable al´ eatoire, puisque
le second membre est une r´ eunion d´ enombrable d’´ ev` enements. Comme les
variables X n sont ind´ ependantes de N , chaque variable S n est ind´ ependante
de N . On en d´ eduit :
P{S N = j} =
∞
n=0
P{S N = j, N = n}
=
∞
n=0
P{S n = j, N = n} =
∞
n=0
P{S n = j} P{N = n}.
D’o` u
G S N (s) =
∞
j=0
P{S N = j}s
j =
∞
j=0
∞
n=0
P{S n = j} P{N = n}
s
j .
EATOIRES
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3. Somme de variables al´ eatoires. — On examine d’abord le cas o` u
le nombre de termes de cette somme est fix´ e, puis celui o` u ce nombre est
lui-mˆ eme al´ eatoire.
Proposition 3.1. — Si X et Y sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes, alors
(3.1)
G X+Y (s) = G X (s) G Y (s).
D´ emonstration. — En effet, si P et Q sont les lois de probabilit´ e de X
et de Y , alors la loi de X + Y est P ∗ Q. La proposition r´ esulte alors de la
Proposition 1.3.
Corollaire. — Si X 1 , X 2 , . . . , X n sont des variables al´ eatoires mutuellement ind´ ependantes et de mˆ eme loi, dont la fonction g´ en´ eratrice est G(s),
alors la fonction g´ en´ eratrice de S n = X 1 + X 2 + · · · + X n est donn´ ee par :
(3.2)
G S n (s) =
G(s)
n .
Nous ´ etudions maintenant le cas o` u l’on prend un nombre al´ eatoire de
variables al´ eatoires. Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires mutuellement
ind´ ependantes, de mˆ eme loi P X ∈ M, dont la fonction g´ en´ eratrice est G X (s)
et toutes d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P). Soit de plus N
une variable al´ eatoire, d´ efinie sur le mˆ eme espace, ind´ ependante des X n , de
loi P N ∈ M et dont la fonction g´ en´ eratrice est G N (s). On pose S 0 = 0,
S n = X 1 + · · · + X n (n ≥ 1) et l’on consid` ere la variable al´ eatoire :
S N : ω −→ S N (ω) (ω) = X 1 (ω) + · · · + X N (ω) (ω).
En fait, pour d´ efinir S N , il faut introduire un produit (infini) d’espaces
probabilis´ es, mais seul le calcul de la fonction g´ en´ eratrice de S N nous importe
ici.
Pour tout entier j ≥ 0, on peut ´ ecrire
{S N = j} =
∞
n=0
{S N = j, N = n} =
∞
n=0
{X 1 + · · · + X n = j, N = n}.
Ceci montre, en particulier, que S N est une variable al´ eatoire, puisque
le second membre est une r´ eunion d´ enombrable d’´ ev` enements. Comme les
variables X n sont ind´ ependantes de N , chaque variable S n est ind´ ependante
de N . On en d´ eduit :
P{S N = j} =
∞
n=0
P{S N = j, N = n}
=
∞
n=0
P{S n = j, N = n} =
∞
n=0
P{S n = j} P{N = n}.
D’o` u
G S N (s) =
∞
j=0
P{S N = j}s
j =
∞
j=0
∞
n=0
P{S n = j} P{N = n}
s
j .