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CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
En ´ echangeant l’ordre des sommations, on obtient :
G S N (s) =
∞
n=0
P{N = n}
∞
j=0
P{S n = j} s
j
=
n=0
P{N = n}
G X (s)
n [d’apr` es le corollaire pr´ ec´ edent]
= G N
G X (s)
.
On a d´ emontr´ e ainsi la proposition suivante.
Proposition 3.2. — La fonction g´ en´ eratrice de la somme S N =
X 1 +· · ·+X N , o` u N est une variable al´ eatoire `
a valeurs enti` eres, ind´ ependante
de la suite (X n ) (n ≥ 1), est la fonction compos´ ee :
(3.3)
G S N (s) = G N
G X (s)
= G N ◦ G X (s).
4. Le th´ eor` eme de continuit´ e
Th´ eor` eme 4.1. — Donnons-nous une suite (p n,k , k ≥ 0) (n ≥ 0) de
lois de probabilit´ e sur N et une suite (α k , k ≥ 0) de nombres positifs v´ erifiant
k≥0
α k ≤ 1. Posons :
G n (u) =
k≥0
p n,k u
k
(n ≥ 0)
et
G(u) =
k≥0
α k u
k .
Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) Pour tout k ≥ 0 on a : lim
n→∞
p n,k = α k ;
b) Pour tout u ∈]0, 1[ on a : lim
n→∞
G n (u) = G(u).
D´ emonstration
a) ⇒ b) : soit u ∈]0, 1[ ; pour tout ε > 0 il existe un entier N (ε) tel que
k>N
u
k < ε. De l` a
|G n (u) − G(u)| ≤
k≥0
|p n,k − α k | |u|
k
≤
N
k=0
|p n,k − α k | +
k>N
u
k .
D’o` u |G n (u) − G(u)| <
N
k=0
|p n,k − α k |+ε. En maintenant N fix´ e et en faisant
tendre n vers l’infini, on obtient le r´ esultat, le nombre ε > 0 ´ etant arbitraire.
b) ⇒ a) : le proc´ ed´ e diagonal classique montre que de toute suite
(P n ) = ((p n,k , k ≥ 1)) (n ≥ 1) de lois de probabilit´ e sur N on peut extraire
une sous-suite (P n ) convergente, c’est-` a-dire, telle que pour tout k ≥ 0 la
limite lim
n →∞
p n ,k existe.
Si (P n ) admet deux sous-suites convergentes (P n ) et (P n ), on aura, en
vertu de la partie a) ⇒ b) du th´ eor` eme :
lim
n →∞
G n (u) = G(u),
lim
n →∞
G n (u) = G(u).