COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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Ainsi les limites de deux sous-suites convergentes ont mˆ eme fonction g´ en´ eratrice ; comme la fonction g´ en´ eratrice d’une suite d´ etermine cette suite, toutes
les sous-suites convergentes convergent vers la mˆ eme limite. Donc pour tout
k ≥ 0 la limite lim
n→∞
p n,k existe. Appelons-la α k . La suite (α k , k ≥ 0) a alors
pour fonction g´ en´ eratrice G(u).
Dans le cas o` u la limite (α k , k ≥ 0) est elle-mˆ eme une loi de probabilit´ e
sur N, on peut ´ enoncer le r´ esultat suivant.
Th´ eor` eme 4.2. — Donnons-nous une suite (X n ) (n ≥ 1) de variables
al´ eatoires `
a valeurs dans N et une variable al´ eatoire X ` a valeurs dans N.
Notons (p n,k , k ≥ 0) la loi de X n et G n (u) = E[u
X n ] sa fonction g´ en´ eratrice,
enfin (α k , k ≥ 0) la loi de X et G(u) = E[u
X ] sa fonction g´ en´ eratrice. Alors
les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) Pour tout k ≥ 0 on a : lim
n→∞
p n,k = α k (X n tend vers X en loi)
1 ;
b) Pour tout u ∈]0, 1[ on a : lim
n→∞
G n (u) = G(u).
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — D´ eterminer l’expression de la fonction g´ en´ eratrice des lois binomiale
B(n, p), de Poisson π λ , g´ eom´ etrique
k≥1 pq
k−1 ε k .
2. — Soit X une variable al´ eatoire de loi g´ eom´ etrique
k≥1 q
k−1 p ε k
(0 < p < 1, q = 1 − p). Montrer que tous les moments factoriels de X
existent ; les calculer ; ´ etudier le cas particulier p =
1
2 .
3. — Retrouver, en utilisant la technique des fonctions g´ en´ eratrices, les
identit´ es de convolution :
B(n, p) ∗ B(m, p) = B(n + m, p) ; π λ ∗ π µ = π λ+µ .
4. — Toujours au moyen de la technique des fonctions g´ en´ eratrices, ´ evaluer
E[X], Var X, lorsque X suit respectivement la loi B(n, p) et la loi π λ .
5. — On pose : F (a, b, c; s) = 2 F 1
a, b
c
; s
=
n≥0
(a) n (b) n
(c) n
s
n
n!
.
a) V´ erifier que l’on a F
(a, b, c; s) =
ab
c
F (a + 1, b + 1, c + 1; s).
1 cf. Th´ eor` eme 6.1 du chapitre 16.