108
CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
b) La loi hyperg´ eom´ etrique H(n, N, M ) =
k
M
k
N −M
n−k
N
n
ε k , o` u k
varie dans l’intervalle [max{0, n − (N − M )}, min{n, M }] a pour fonction
g´ en´ eratrice
G H (s) =
(−N + M ) n
(−N ) n
2 F 1
−M, −n
N − M − n + 1
; s
, si n ≤ N − M ;
(n − N + M + 1) N −n
(n + 1) N −n
s
n−N +M
2 F 1
−N + n, −N + M
n − N + M + 1
; s
,
si n ≥ N − M + 1. La loi hyperg´ eom´ etrique doit son nom `
a cette propri´ et´ e.
Noter que G H (s) est sym´ etrique en n et M .
c) En d´ eduire, tout en utilisant l’identit´ e de Chu-Vandermonde, que
l’esp´ erance math´ ematique d’une variable hyperg´ eom´ etrique (´ egale ` a G
H (1))
vaut nM/N .
d) V´ erifier que la d´ eriv´ ee seconde de G H (s) en s = 1 est ´ egale ` a
M (M − 1)n(n − 1)
N (N − 1)
.
En tirer que la variance d’une variable hyperg´ eom´ etrique est donn´ ee par
Var X =
nM (N − M )
N 2
1 −
n − 1
N − 1
.
6. — Soit G(s) la fonction g´ en´ eratrice d’une variable al´ eatoire X ∈ M
.
Trouver la fonction g´ en´ eratrice des variables X + b et aX, o` u a, b sont des
entiers positifs.
7. — En d´ esignant par G(s) la fonction g´ en´ eratrice d’une variable
al´ eatoire X de la classe M
, donner, en fonction de G(s), l’expression de
J(s) =
n≥0 u n s
n , lorsque u n est respectivement ´ egal ` a :
a) P{X ≤ n} ; b) P{X < n} ; c) P{X ≥ n} ; d) P{X > n + 1} ;
e) P{X = 2n} pour tout n ≥ 0.
8. — Un sac contient une boule blanche et deux boules rouges. On r´ ep` ete
une infinit´ e de fois l’op´ eration qui consiste `
a tirer une boule, la remettre dans
le sac si elle est blanche, l’´ eliminer si elle est rouge. On appelle X n la variable
al´ eatoire prenant la valeur 0 ou 1 suivant qu’` a la n
i` eme op´ eration on a tir´ e
une boule rouge ou blanche et l’on pose : R n = {X n = 0} et B n = {X n = 1}.
a) Soit T 1 l’instant o` u l’on a tir´ e la premi` ere boule rouge (T 1 est ainsi
le plus petit entier m ≥ 1 tel que X m = 0). Calculer P{T 1 = m} (m ≥ 1) et
la fonction g´ en´ eratrice de T 1 . En d´ eduire que
m≥1 P{T 1 = m} = 1 et les
valeurs de l’esp´ erance math´ ematique et de la variance de T 1 .
b) Soit T 2 l’instant o` u l’on a tir´ e la deuxi` eme boule rouge. Calculer
P{T 1 = m, T 2 = n} pour 1 ≤ m < n.
CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
b) La loi hyperg´ eom´ etrique H(n, N, M ) =
k
M
k
N −M
n−k
N
n
ε k , o` u k
varie dans l’intervalle [max{0, n − (N − M )}, min{n, M }] a pour fonction
g´ en´ eratrice
G H (s) =
(−N + M ) n
(−N ) n
2 F 1
−M, −n
N − M − n + 1
; s
, si n ≤ N − M ;
(n − N + M + 1) N −n
(n + 1) N −n
s
n−N +M
2 F 1
−N + n, −N + M
n − N + M + 1
; s
,
si n ≥ N − M + 1. La loi hyperg´ eom´ etrique doit son nom `
a cette propri´ et´ e.
Noter que G H (s) est sym´ etrique en n et M .
c) En d´ eduire, tout en utilisant l’identit´ e de Chu-Vandermonde, que
l’esp´ erance math´ ematique d’une variable hyperg´ eom´ etrique (´ egale ` a G
H (1))
vaut nM/N .
d) V´ erifier que la d´ eriv´ ee seconde de G H (s) en s = 1 est ´ egale ` a
M (M − 1)n(n − 1)
N (N − 1)
.
En tirer que la variance d’une variable hyperg´ eom´ etrique est donn´ ee par
Var X =
nM (N − M )
N 2
1 −
n − 1
N − 1
.
6. — Soit G(s) la fonction g´ en´ eratrice d’une variable al´ eatoire X ∈ M
.
Trouver la fonction g´ en´ eratrice des variables X + b et aX, o` u a, b sont des
entiers positifs.
7. — En d´ esignant par G(s) la fonction g´ en´ eratrice d’une variable
al´ eatoire X de la classe M
, donner, en fonction de G(s), l’expression de
J(s) =
n≥0 u n s
n , lorsque u n est respectivement ´ egal ` a :
a) P{X ≤ n} ; b) P{X < n} ; c) P{X ≥ n} ; d) P{X > n + 1} ;
e) P{X = 2n} pour tout n ≥ 0.
8. — Un sac contient une boule blanche et deux boules rouges. On r´ ep` ete
une infinit´ e de fois l’op´ eration qui consiste `
a tirer une boule, la remettre dans
le sac si elle est blanche, l’´ eliminer si elle est rouge. On appelle X n la variable
al´ eatoire prenant la valeur 0 ou 1 suivant qu’` a la n
i` eme op´ eration on a tir´ e
une boule rouge ou blanche et l’on pose : R n = {X n = 0} et B n = {X n = 1}.
a) Soit T 1 l’instant o` u l’on a tir´ e la premi` ere boule rouge (T 1 est ainsi
le plus petit entier m ≥ 1 tel que X m = 0). Calculer P{T 1 = m} (m ≥ 1) et
la fonction g´ en´ eratrice de T 1 . En d´ eduire que
m≥1 P{T 1 = m} = 1 et les
valeurs de l’esp´ erance math´ ematique et de la variance de T 1 .
b) Soit T 2 l’instant o` u l’on a tir´ e la deuxi` eme boule rouge. Calculer
P{T 1 = m, T 2 = n} pour 1 ≤ m < n.