COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
109
c) En d´ eduire P{T 2 = n}. Calculer la fonction g´ en´ eratrice de T 2 .
Montrer que presque sˆ urement T 2 est fini. Calculer E[T 2 ] et Var T 2 .
d) A l’aide de ce qui pr´ ec` ede, calculer P{X n = 0} et en d´ eduire la loi
de X n .
9. — On garde les mˆ emes hypoth` eses que dans la Proposition 3.2. Montrer
que si X 1 et N ont une esp´ erance et une variance finies, il en est de mˆ eme
pour S N et que
E[S N ] = E[N ] E[X 1 ] et VarS N = E[N ] Var X 1 + Var N
E[X 1 ]
2 .
10. — Dans une r´ eaction nucl´ eaire, une particule ´ el´ ementaire provoque
l’apparition de X 1 particules de mˆ eme nature, dites de premi` ere g´ en´ eration.
La i
i` eme particule de la premi` ere g´ en´ eration engendre, ind´ ependamment
des autres, ξ
1
i particules (i = 1, 2, . . . , X 1 ) ; le nombre de particules de la
deuxi` eme g´ en´ eration est donc X 2 = ξ
1
1 + · · · + ξ
1
X 1
. Les variables al´ eatoires
X n et ξ
n
i sont d´ efinies par r´ ecurrence de la mˆ eme fa¸ con : la taille de la
n
i` eme g´ en´ eration est X n et ξ
n
i le nombre de descendants de la i
i` eme particule
de la n
i` eme g´ en´ eration.
Pour n ≥ 1 on a donc la relation : X n+1 = ξ
n
1 + · · · + ξ
n
X n
. On fait
l’hypoth` ese que pour tout n ≥ 1 les variables al´ eatoires X n , ξ
n
1 , . . . , ξ
n
X n
sont
ind´ ependantes et que les ξ
n
i ont toutes mˆ eme loi que X 1 . On d´ esigne par G(s)
la fonction g´ en´ eratrice de X 1 .
a) Soit G n (s) la fonction g´ en´ eratrice de X n . Montrer que
G n+1 (s) = G n
G(s)
= G
G n (s)
,
pour n ≥ 1.
b) Montrer que la fonction G(s) est croissante et convexe dans l’intervalle [0, 1].
c) On pose x n = P{X n = 0} = G n (0) ; montrer que la suite (x n ) (n ≥ 1)
est croissante et que sa limite x est la plus petite solution comprise entre 0
et 1 de l’´ equation :
(
∗ )
G(ξ) = ξ.
d) Soit µ = E[X 1 ] le nombre moyen de descendants d’une particule. On
suppose G(s) = s ; `
a l’aide de b) montrer que :
(i) si µ ≤ 1, la seule racine de l’´ equation (*) comprise entre 0 et 1 est
ξ = 1 ; donc x = 1 ;
(ii) si µ > 1, l’´ equation (*) admet une solution unique ξ telle que
0 ≤ ξ < 1 ; on a donc : x = ξ.
e) Interpr´ eter x et le r´ esultat pr´ ec´ edent.
f) Soit σ
2 = Var X 1 . En ´ etablissant des formules de r´ ecurrence, calculer
E[X n ] et Var X n en fonction de µ et σ
2 .
g) Calculer G n (s) dans le cas o` u P X 1 = qε 0 + pε 1 (p + q = 1).
EMENTS ET EXERCICES
109
c) En d´ eduire P{T 2 = n}. Calculer la fonction g´ en´ eratrice de T 2 .
Montrer que presque sˆ urement T 2 est fini. Calculer E[T 2 ] et Var T 2 .
d) A l’aide de ce qui pr´ ec` ede, calculer P{X n = 0} et en d´ eduire la loi
de X n .
9. — On garde les mˆ emes hypoth` eses que dans la Proposition 3.2. Montrer
que si X 1 et N ont une esp´ erance et une variance finies, il en est de mˆ eme
pour S N et que
E[S N ] = E[N ] E[X 1 ] et VarS N = E[N ] Var X 1 + Var N
E[X 1 ]
2 .
10. — Dans une r´ eaction nucl´ eaire, une particule ´ el´ ementaire provoque
l’apparition de X 1 particules de mˆ eme nature, dites de premi` ere g´ en´ eration.
La i
i` eme particule de la premi` ere g´ en´ eration engendre, ind´ ependamment
des autres, ξ
1
i particules (i = 1, 2, . . . , X 1 ) ; le nombre de particules de la
deuxi` eme g´ en´ eration est donc X 2 = ξ
1
1 + · · · + ξ
1
X 1
. Les variables al´ eatoires
X n et ξ
n
i sont d´ efinies par r´ ecurrence de la mˆ eme fa¸ con : la taille de la
n
i` eme g´ en´ eration est X n et ξ
n
i le nombre de descendants de la i
i` eme particule
de la n
i` eme g´ en´ eration.
Pour n ≥ 1 on a donc la relation : X n+1 = ξ
n
1 + · · · + ξ
n
X n
. On fait
l’hypoth` ese que pour tout n ≥ 1 les variables al´ eatoires X n , ξ
n
1 , . . . , ξ
n
X n
sont
ind´ ependantes et que les ξ
n
i ont toutes mˆ eme loi que X 1 . On d´ esigne par G(s)
la fonction g´ en´ eratrice de X 1 .
a) Soit G n (s) la fonction g´ en´ eratrice de X n . Montrer que
G n+1 (s) = G n
G(s)
= G
G n (s)
,
pour n ≥ 1.
b) Montrer que la fonction G(s) est croissante et convexe dans l’intervalle [0, 1].
c) On pose x n = P{X n = 0} = G n (0) ; montrer que la suite (x n ) (n ≥ 1)
est croissante et que sa limite x est la plus petite solution comprise entre 0
et 1 de l’´ equation :
(
∗ )
G(ξ) = ξ.
d) Soit µ = E[X 1 ] le nombre moyen de descendants d’une particule. On
suppose G(s) = s ; `
a l’aide de b) montrer que :
(i) si µ ≤ 1, la seule racine de l’´ equation (*) comprise entre 0 et 1 est
ξ = 1 ; donc x = 1 ;
(ii) si µ > 1, l’´ equation (*) admet une solution unique ξ telle que
0 ≤ ξ < 1 ; on a donc : x = ξ.
e) Interpr´ eter x et le r´ esultat pr´ ec´ edent.
f) Soit σ
2 = Var X 1 . En ´ etablissant des formules de r´ ecurrence, calculer
E[X n ] et Var X n en fonction de µ et σ
2 .
g) Calculer G n (s) dans le cas o` u P X 1 = qε 0 + pε 1 (p + q = 1).