4. ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE
83
Le th´ eor` eme du transfert que nous ´ enon¸ cons maintenant montre la souplesse de la d´ efinition de la notion d’esp´ erance math´ ematique. On consid` ere
ici un espace probabilis´ e (Ω, A, P), o` u Ω est au plus d´ enombrable, puis X
une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur cet espace. L’image de Ω par X est
elle-mˆ eme au plus d´ enombrable, soit X(Ω) = {x n : n ∈ N}. Notons P X la loi
de probabilit´ e de X.
Th´ eor` eme 4.1 (th´ eor` eme du transfert). — On a l’identit´ e
ω∈Ω
X(ω)P({ω}) =
n
x n P X ({x n }),
pourvu que l’une des s´ eries intervenant dans les deux membres soit absolument convergente (l’autre l’est alors ´ egalement). Si ceci est le cas, la valeur
commune des deux membres est appel´ ee l’esp´ erance math´ ematique de X.
D´ emonstration. — Posons A n = X
−1 ({x n }) ; la classe {A n } est une
partition de Ω et l’on a, formellement
ω∈Ω
X(ω)P({ω}) =
n
ω∈A n
X(ω)P({ω}) ;
d’o` u, puisque pour tout ω ∈ A n on a X(ω) = x n
ω∈Ω
X(ω)P({ω}) =
n
x n
ω∈A n
P({ω})
=
n
x n P(A n ) =
n
x n P X ({x n }).
Les calculs formels sont valables d` es que l’une des s´ eries des deux membres
est absolument convergente.
Avant de donner les premi` eres propri´ et´ es de l’esp´ erance math´ ematique,
introduisons la notion de propri´ et´ e vraie presque sˆ urement.
D´ efinition. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et P une propri´ et´ e
susceptible ou non d’ˆ etre v´ erifi´ ee par tout ω ∈ Ω. On dit que P est vraie
presque sˆ urement (p.s.), s’il existe A ∈ A tel que P(A) = 0 et P est vraie
pour tous les ω ∈ A
c .
Dans cette d´ efinition, on n’impose pas que l’ensemble A
des ω ∈ Ω qui
n’ont pas la propri´ et´ e P soit de probabilit´ e nulle, car A
n’appartient pas
n´ ecessairement ` a A. En fait, on a A
⊂ A, A ∈ A, P(A) = 0 et P vraie dans
A
c (mais P est aussi vraie dans A \ A
).
Th´ eor` eme 4.2. — Soient X et Y deux variables al´ eatoires discr` etes
d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). On a les propri´ et´ es :
(D1) E[X] finie si et seulement si E[ |X| ] finie ;
(D2) | X| ≤ Y et E[Y ] finie entraˆ ınent E[X] finie ;
(D3) −∞ < a ≤ X ≤ b < +∞ =⇒ a ≤ E[X] ≤ b ;
ERANCE MATH ´
EMATIQUE
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Le th´ eor` eme du transfert que nous ´ enon¸ cons maintenant montre la souplesse de la d´ efinition de la notion d’esp´ erance math´ ematique. On consid` ere
ici un espace probabilis´ e (Ω, A, P), o` u Ω est au plus d´ enombrable, puis X
une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur cet espace. L’image de Ω par X est
elle-mˆ eme au plus d´ enombrable, soit X(Ω) = {x n : n ∈ N}. Notons P X la loi
de probabilit´ e de X.
Th´ eor` eme 4.1 (th´ eor` eme du transfert). — On a l’identit´ e
ω∈Ω
X(ω)P({ω}) =
n
x n P X ({x n }),
pourvu que l’une des s´ eries intervenant dans les deux membres soit absolument convergente (l’autre l’est alors ´ egalement). Si ceci est le cas, la valeur
commune des deux membres est appel´ ee l’esp´ erance math´ ematique de X.
D´ emonstration. — Posons A n = X
−1 ({x n }) ; la classe {A n } est une
partition de Ω et l’on a, formellement
ω∈Ω
X(ω)P({ω}) =
n
ω∈A n
X(ω)P({ω}) ;
d’o` u, puisque pour tout ω ∈ A n on a X(ω) = x n
ω∈Ω
X(ω)P({ω}) =
n
x n
ω∈A n
P({ω})
=
n
x n P(A n ) =
n
x n P X ({x n }).
Les calculs formels sont valables d` es que l’une des s´ eries des deux membres
est absolument convergente.
Avant de donner les premi` eres propri´ et´ es de l’esp´ erance math´ ematique,
introduisons la notion de propri´ et´ e vraie presque sˆ urement.
D´ efinition. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et P une propri´ et´ e
susceptible ou non d’ˆ etre v´ erifi´ ee par tout ω ∈ Ω. On dit que P est vraie
presque sˆ urement (p.s.), s’il existe A ∈ A tel que P(A) = 0 et P est vraie
pour tous les ω ∈ A
c .
Dans cette d´ efinition, on n’impose pas que l’ensemble A
des ω ∈ Ω qui
n’ont pas la propri´ et´ e P soit de probabilit´ e nulle, car A
n’appartient pas
n´ ecessairement ` a A. En fait, on a A
⊂ A, A ∈ A, P(A) = 0 et P vraie dans
A
c (mais P est aussi vraie dans A \ A
).
Th´ eor` eme 4.2. — Soient X et Y deux variables al´ eatoires discr` etes
d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). On a les propri´ et´ es :
(D1) E[X] finie si et seulement si E[ |X| ] finie ;
(D2) | X| ≤ Y et E[Y ] finie entraˆ ınent E[X] finie ;
(D3) −∞ < a ≤ X ≤ b < +∞ =⇒ a ≤ E[X] ≤ b ;