82 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
Pour ´ etablir la seconde, on ´ ecrit
π λ ∗ π ν =
∞
i=0
∞
j=0
e
−(λ+µ) λ
i
i!
µ
j
j!
ε i+j = e
−(λ+µ)
∞
k=0
γ k ε k ,
o` u, pour k = 0, 1, . . ., on a pos´ e :
γ k =
k
i=0
λ
i
i!
µ
k−i
(k − i)!
.
Cette expression est ´ egale ` a (λ + µ)
k /k!
Proposition 3.2. — Si X et Y sont des variables al´ eatoires r´ eelles,
discr` etes, d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e, ind´ ependantes et respectivement de lois P X et P Y , alors la loi de probabilit´ e de la variable al´ eatoire
X + Y est le produit de convolution de P X par P Y . Autrement dit,
P X+Y = P X ∗ P Y .
Cette proposition est une cons´ equence imm´ ediate du Corollaire 1.3 et de
la Proposition 2.1.
4. Esp´ erance math´ ematique. — De mˆ eme qu’en m´ ecanique on introduit la notion de barycentre de points mat´ eriels, on parle en calcul des
probabilit´ es de valeur moyenne ou d’esp´ erance math´ ematique d’une variable
al´ eatoire r´ eelle X. Chaque valeur prise par X est affect´ ee d’une masse ´ egale
` a la probabilit´ e pour que X soit ´ egal ` a cette valeur et l’esp´ erance math´ ematique, not´ ee E[X], est le barycentre de ces valeurs affect´ ees de telles masses.
Cet ´ enonc´ e est suffisant pour traiter le cas des variables al´ eatoires discr` etes.
D´ efinition. — L’esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire r´ eelle
discr` ete X de loi P X =
i α i ε x i est d´ efinie par
E[X] =
i
α i x i ,
` a condition que la s´ erie du second membre converge absolument. Dans ce
cas, on dit que X a une esp´ erance math´ ematique finie. Si la s´ erie
i α i |x i |
diverge, on dit que X n’a pas d’esp´ erance math´ ematique finie.
Soit
j β j ε y j une expression pour la mesure de probabilit´ e P X , o` u tous les
y j sont distincts. Pour tout j le nombre β j est donc la somme de tous les α i
tels que x i = y j . Si la s´ erie
α i x i converge absolument, la s´ erie
j y j β j est
elle-mˆ eme absolument convergente et donc ne d´ epend pas de la num´ erotation
retenue pour les couples (β j , y j ). De plus, on a
i
x i α i =
j
y j
i ; x i =y j
α i =
j
y j β j ,
par la propri´ et´ e d’associativit´ e g´ en´ eralis´ ee. Par cons´ equent, l’esp´ erance
math´ ematique de X ne d´ epend ni de l’expression retenue pour P X , ni de
la num´ erotation des couples (α i , x i ) retenue pour la somme
i x i α i . Cette
propri´ et´ e de commutativit´ e compl` ete justifie l’interpr´ etation de l’esp´ erance
math´ ematique comme barycentre.
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
Pour ´ etablir la seconde, on ´ ecrit
π λ ∗ π ν =
∞
i=0
∞
j=0
e
−(λ+µ) λ
i
i!
µ
j
j!
ε i+j = e
−(λ+µ)
∞
k=0
γ k ε k ,
o` u, pour k = 0, 1, . . ., on a pos´ e :
γ k =
k
i=0
λ
i
i!
µ
k−i
(k − i)!
.
Cette expression est ´ egale ` a (λ + µ)
k /k!
Proposition 3.2. — Si X et Y sont des variables al´ eatoires r´ eelles,
discr` etes, d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilis´ e, ind´ ependantes et respectivement de lois P X et P Y , alors la loi de probabilit´ e de la variable al´ eatoire
X + Y est le produit de convolution de P X par P Y . Autrement dit,
P X+Y = P X ∗ P Y .
Cette proposition est une cons´ equence imm´ ediate du Corollaire 1.3 et de
la Proposition 2.1.
4. Esp´ erance math´ ematique. — De mˆ eme qu’en m´ ecanique on introduit la notion de barycentre de points mat´ eriels, on parle en calcul des
probabilit´ es de valeur moyenne ou d’esp´ erance math´ ematique d’une variable
al´ eatoire r´ eelle X. Chaque valeur prise par X est affect´ ee d’une masse ´ egale
` a la probabilit´ e pour que X soit ´ egal ` a cette valeur et l’esp´ erance math´ ematique, not´ ee E[X], est le barycentre de ces valeurs affect´ ees de telles masses.
Cet ´ enonc´ e est suffisant pour traiter le cas des variables al´ eatoires discr` etes.
D´ efinition. — L’esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire r´ eelle
discr` ete X de loi P X =
i α i ε x i est d´ efinie par
E[X] =
i
α i x i ,
` a condition que la s´ erie du second membre converge absolument. Dans ce
cas, on dit que X a une esp´ erance math´ ematique finie. Si la s´ erie
i α i |x i |
diverge, on dit que X n’a pas d’esp´ erance math´ ematique finie.
Soit
j β j ε y j une expression pour la mesure de probabilit´ e P X , o` u tous les
y j sont distincts. Pour tout j le nombre β j est donc la somme de tous les α i
tels que x i = y j . Si la s´ erie
α i x i converge absolument, la s´ erie
j y j β j est
elle-mˆ eme absolument convergente et donc ne d´ epend pas de la num´ erotation
retenue pour les couples (β j , y j ). De plus, on a
i
x i α i =
j
y j
i ; x i =y j
α i =
j
y j β j ,
par la propri´ et´ e d’associativit´ e g´ en´ eralis´ ee. Par cons´ equent, l’esp´ erance
math´ ematique de X ne d´ epend ni de l’expression retenue pour P X , ni de
la num´ erotation des couples (α i , x i ) retenue pour la somme
i x i α i . Cette
propri´ et´ e de commutativit´ e compl` ete justifie l’interpr´ etation de l’esp´ erance
math´ ematique comme barycentre.