3. CONVOLUTION DES LOIS DE PROBABILIT ´
E DISCR `
ETES
81
R´ eciproquement, supposons (2.1) satisfait pour tout i ∈ I et j ∈ J et
prenons deux bor´ eliens A et B. On obtient :
P{X ∈ A, Y ∈ B} =
P{X = x i , Y = y j } : x i ∈ A, y j ∈ B
=
P{X = x i }P{Y = y j } : x i ∈ A, y j ∈ B
=
P{X = x i } : x i ∈ A
P{Y = y j } : y j ∈ B
= P{X ∈ A} P{Y ∈ B}.
D’o` u X et Y sont ind´ ependants.
Corollaire 2.2. — Si X et Y sont ind´ ependantes, la loi de T = (X, Y )
est d´ etermin´ ee d` es que l’on connaˆ ıt les lois de X et de Y .
Le corollaire d´ ecoule imm´ ediatement des relations (2.1).
3. Convolution des lois de probabilit´ e discr` etes
D´ efinition. — Soient P =
i∈I α i ε x i et Q =
j∈J β j ε y j deux lois de
probabilit´ e discr` etes. Le produit de convolution de P par Q est la mesure de
probabilit´ e, not´ ee P ∗ Q, d´ efinie par :
(3.1)
P ∗ Q =
(i,j)∈I×J
α i β j ε (x i +y j ) .
Que P ∗ Q soit une mesure de probabilit´ e d´ ecoule des propri´ et´ es ´ el´ ementaires sur les s´ eries absolument convergentes. Ces mˆ emes propri´ et´ es
entraˆ ınent aussi que le produit de convolution est commutatif et associatif.
Les lois binomiales et de Poisson sont conserv´ ees par le produit de
convolution. En d’autres termes, on a la propri´ et´ e suivante.
Proposition 3.1. — Soient B(n, p) la loi binomiale de param` etres (n, p)
(0 ≤ p ≤ 1, n ≥ 0) et π λ la loi de Poisson de param` etre λ (λ > 0). Alors
B(n, p) ∗ B(m, p) = B(n + m, p)
(n, m ∈ N) ;
π λ ∗ π ν = π λ+ν
(λ > 0, ν > 0).
D´ emonstration. — On a
B(n, p) ∗ B(m, p) =
n
i=0
m
j=0
n
i
m
j
p
i+j q
n+m−i−j ε i+j
=
n+m
k=0
γ k p
k q
n+m−k ε k ,
o` u, pour k = 0, 1, . . . , n + m, on a pos´ e : γ k =
k
i=0
n
i
m
k − i
.
Cette expression est ´ egale ` a
n+m
k
d’apr` es l’identit´ e binomiale. Ceci prouve
la premi` ere relation.
E DISCR `
ETES
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R´ eciproquement, supposons (2.1) satisfait pour tout i ∈ I et j ∈ J et
prenons deux bor´ eliens A et B. On obtient :
P{X ∈ A, Y ∈ B} =
P{X = x i , Y = y j } : x i ∈ A, y j ∈ B
=
P{X = x i }P{Y = y j } : x i ∈ A, y j ∈ B
=
P{X = x i } : x i ∈ A
P{Y = y j } : y j ∈ B
= P{X ∈ A} P{Y ∈ B}.
D’o` u X et Y sont ind´ ependants.
Corollaire 2.2. — Si X et Y sont ind´ ependantes, la loi de T = (X, Y )
est d´ etermin´ ee d` es que l’on connaˆ ıt les lois de X et de Y .
Le corollaire d´ ecoule imm´ ediatement des relations (2.1).
3. Convolution des lois de probabilit´ e discr` etes
D´ efinition. — Soient P =
i∈I α i ε x i et Q =
j∈J β j ε y j deux lois de
probabilit´ e discr` etes. Le produit de convolution de P par Q est la mesure de
probabilit´ e, not´ ee P ∗ Q, d´ efinie par :
(3.1)
P ∗ Q =
(i,j)∈I×J
α i β j ε (x i +y j ) .
Que P ∗ Q soit une mesure de probabilit´ e d´ ecoule des propri´ et´ es ´ el´ ementaires sur les s´ eries absolument convergentes. Ces mˆ emes propri´ et´ es
entraˆ ınent aussi que le produit de convolution est commutatif et associatif.
Les lois binomiales et de Poisson sont conserv´ ees par le produit de
convolution. En d’autres termes, on a la propri´ et´ e suivante.
Proposition 3.1. — Soient B(n, p) la loi binomiale de param` etres (n, p)
(0 ≤ p ≤ 1, n ≥ 0) et π λ la loi de Poisson de param` etre λ (λ > 0). Alors
B(n, p) ∗ B(m, p) = B(n + m, p)
(n, m ∈ N) ;
π λ ∗ π ν = π λ+ν
(λ > 0, ν > 0).
D´ emonstration. — On a
B(n, p) ∗ B(m, p) =
n
i=0
m
j=0
n
i
m
j
p
i+j q
n+m−i−j ε i+j
=
n+m
k=0
γ k p
k q
n+m−k ε k ,
o` u, pour k = 0, 1, . . . , n + m, on a pos´ e : γ k =
k
i=0
n
i
m
k − i
.
Cette expression est ´ egale ` a
n+m
k
d’apr` es l’identit´ e binomiale. Ceci prouve
la premi` ere relation.