80 CHAPITRE 8 : ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
o` u {(x i , y j ) : (i, j) ∈ I × J} est une suite finie ou d´ enombrable d’´ el´ ements de
R
2 , alors X et Y sont discr` etes, respectivement de lois
P X =
i∈I
j∈J
p(x i , y j )
ε x i et P Y =
j∈J
i∈I
p(x i , y j )
ε y j .
Les lois P X et P Y sont appel´ ees les lois marginales (en X, Y ) associ´ ees `
a la
loi (conjointe) P T .
D´ emonstration. — En effet, il suffit de remarquer que les projections
π 1 : (x, y) → x et π 2 : (x, y) → y sont des applications mesurables de R
2
dans R et que l’on a : X = π 1 ◦ T et Y = π 2 ◦ T .
Corollaire 1.3. — Avec les mˆ emes notations que ci-dessus, la loi de
X + Y est donn´ ee par :
P X+Y =
i,j
p(x i , y j )ε (x i +y j ) .
D´ emonstration. — En effet, on a : X + Y = g ◦ T avec g(x, y) = x + y.
Le Corollaire 1.2 entraˆ ıne que la loi de T d´ etermine compl` etement les lois
de X et de Y . La r´ eciproque n’est pas vraie, car si X et Y sont des variables
al´ eatoires r´ eelles, d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) et de lois
(1.2)
P X =
i∈I
P{X = x i }ε x i et P Y =
j∈J
P{Y = y j }ε y j ,
il n’est pas possible, en g´ en´ eral, d’en d´ eduire la loi de T = (X, Y ), car `
a cet
effet il faut connaˆ ıtre les quantit´ es p(x i , y j ) = P{X = x i , Y = y j } pour tout
(i, j) ∈ I × J.
2. Ind´ ependance. — Supposons que X et Y soient des variables
al´ eatoires r´ eelles d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) et dont les
lois P X et P Y sont donn´ ees par les formules (1.2). On peut alors d´ eterminer
la loi du couple (X, Y ) comme indiqu´ e dans le corollaire de la proposition
suivante.
Proposition 2.1. — Les variables al´ eatoires r´ eelles X et Y sont
ind´ ependantes, si et seulement si, pour tout i ∈ I et tout j ∈ J on a :
(2.1)
P{X = x i , Y = y i } = P{X = x i } P{Y = y j }.
D´ emonstration. — En effet, les variables X et Y sont ind´ ependantes, si
et seulement si P{X ∈ A, Y ∈ B} = P{X ∈ A}P{Y ∈ B} pour toute paire
de bor´ eliens A, B. En prenant A = {x i } et B = {y j }, on retrouve bien (2.1).
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
o` u {(x i , y j ) : (i, j) ∈ I × J} est une suite finie ou d´ enombrable d’´ el´ ements de
R
2 , alors X et Y sont discr` etes, respectivement de lois
P X =
i∈I
j∈J
p(x i , y j )
ε x i et P Y =
j∈J
i∈I
p(x i , y j )
ε y j .
Les lois P X et P Y sont appel´ ees les lois marginales (en X, Y ) associ´ ees `
a la
loi (conjointe) P T .
D´ emonstration. — En effet, il suffit de remarquer que les projections
π 1 : (x, y) → x et π 2 : (x, y) → y sont des applications mesurables de R
2
dans R et que l’on a : X = π 1 ◦ T et Y = π 2 ◦ T .
Corollaire 1.3. — Avec les mˆ emes notations que ci-dessus, la loi de
X + Y est donn´ ee par :
P X+Y =
i,j
p(x i , y j )ε (x i +y j ) .
D´ emonstration. — En effet, on a : X + Y = g ◦ T avec g(x, y) = x + y.
Le Corollaire 1.2 entraˆ ıne que la loi de T d´ etermine compl` etement les lois
de X et de Y . La r´ eciproque n’est pas vraie, car si X et Y sont des variables
al´ eatoires r´ eelles, d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) et de lois
(1.2)
P X =
i∈I
P{X = x i }ε x i et P Y =
j∈J
P{Y = y j }ε y j ,
il n’est pas possible, en g´ en´ eral, d’en d´ eduire la loi de T = (X, Y ), car `
a cet
effet il faut connaˆ ıtre les quantit´ es p(x i , y j ) = P{X = x i , Y = y j } pour tout
(i, j) ∈ I × J.
2. Ind´ ependance. — Supposons que X et Y soient des variables
al´ eatoires r´ eelles d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) et dont les
lois P X et P Y sont donn´ ees par les formules (1.2). On peut alors d´ eterminer
la loi du couple (X, Y ) comme indiqu´ e dans le corollaire de la proposition
suivante.
Proposition 2.1. — Les variables al´ eatoires r´ eelles X et Y sont
ind´ ependantes, si et seulement si, pour tout i ∈ I et tout j ∈ J on a :
(2.1)
P{X = x i , Y = y i } = P{X = x i } P{Y = y j }.
D´ emonstration. — En effet, les variables X et Y sont ind´ ependantes, si
et seulement si P{X ∈ A, Y ∈ B} = P{X ∈ A}P{Y ∈ B} pour toute paire
de bor´ eliens A, B. En prenant A = {x i } et B = {y j }, on retrouve bien (2.1).