CHAPITRE 8
ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE, VALEURS TYPIQUES
Dans ce chapitre nous introduisons la notion d’esp´ erance math´ ematique
pour une variable al´ eatoire r´ eelle discr` ete. Un tel chapitre serait donc inutile
si l’on donnait tout d’abord la th´ eorie de l’int´ egration des variables al´ eatoires
quelconques, th´ eorie qui repose sur l’´ etude de l’espace probabilis´ e (Ω, A, P).
Au contraire, l’´ etude de l’esp´ erance des variables al´ eatoires discr` etes est faite
directement sur l’espace probabilis´ e (image) (R, B
1 , P X ). Le rapport entre les
deux th´ eories est obtenu ` a l’aide du th´ eor` eme dit du transfert. Une version
discr` ete de ce th´ eor` eme est donn´ ee dans ce chapitre.
1. Transformation des variables al´ eatoires
Proposition 1.1. — Soient X une variable al´ eatoire, discr` ete, `
a n
dimensions, de loi
P X =
k
α k ε x k
et g une fonction ` a valeurs dans R
p , mesurable, d´ efinie sur (R
n , B
n ). Alors
g ◦ X est une variable al´ eatoire `
a p dimensions, discr` ete, de loi
P g◦X =
k
α k ε g(x k ) .
De plus, en ´ ecrivant la chaˆ ıne (Ω, A, P)
X
→ (R
n , B
n , P X )
g
→ (R
p , B
p ), on a,
pour tout z ∈ R
p
(1.1)
P g◦X {z} = P X {g = z} = P{g ◦ X = z}.
D´ emonstration. — La variable al´ eatoire g ◦ X est ´ evidemment ` a valeurs
dans R
p . D’autre part, g(X(ω)) = z si et seulement si X(ω) ∈ g
−1 (z). Par
cons´ equent, P g◦X {z} = P{g ◦ X = z} = P{X ∈ g
−1 (z)} = P X (g
−1 (z)) =
P X {g = z} = P X {x : g(x) = z} =
k {α k : g(x k ) = z}.
Corollaire 1.2. — Si T = (X, Y ) est une variable al´ eatoire discr` ete ` a
deux dimensions de loi
P T =
i,j
p(x i , y j )ε (x i ,y j ) ,