78 CHAPITRE 7 : VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
1) D´ eterminer la loi de T 1 .
2) On pose : τ 1 = T 1 , τ 2 = T 2 − T 1 , . . . , τ n = T n − T n−1 . Montrer que τ 1 ,
. . . , τ n sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes, de mˆ eme loi que T 1 .
3) Montrer que la loi conjointe de (T 1 , . . . , T n ) est donn´ ee par
P{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } =
p
q
n
q
t n , si 0 < t 1 < · · · < t n ;
0,
sinon.
4) ´
Etant donn´ e qu’` a la date m on a observ´ e n piles , calculer la loi
conditionnelle des positions de ces n piles . De fa¸ con pr´ ecise, posons
A = {N m = n} (0 ≤ n ≤ m) ;
B = {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } (1 ≤ t 1 < · · · < t n ≤ m).
Calculer P(B | A). On observera que le r´ esultat ne d´ epend pas de p et peut
s’interpr´ eter comme le choix au hasard de n parmi m points.
5) On se place ` a la date n ≥ 1. Alors
T N n est l’instant d’arriv´ ee du dernier pile (on pose T 0 = 0) ;
T N n +1 est l’instant d’arriv´ ee du prochain pile ;
τ N n +1 = T N n +1 −T N n est la longueur de l’intervalle entre deux piles
qui recouvre n.
Posons U n = n − T N n , V n = T N n +1 − n. On notera que les valeurs possibles
de U n sont 0, 1, . . . , n, et celles de V n sont 1, 2, . . .
a) Montrer que U n et V n sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes et
d´ eterminer leurs lois.
b) Calculer lim
n→∞
P{U n = i} (i = 0, 1, . . . ).
Remarque. — Comme τ N n +1 = U n +V n et que L(V n ) = L(τ 1 ), il r´ esulte de
5) a) que la longueur τ N n +1 de l’intervalle entre deux piles qui recouvre n
a tendance `
a ˆ etre plus grande que τ 1 ; c’est le paradoxe de l’inspection :
un inspecteur qui arrive `
a la date n dans l’intention d’estimer la distance
qui s´ epare deux apparitions cons´ ecutives de pile enregistre un nombre en
g´ en´ eral trop grand. Pour de grandes valeurs de n, cette distance a pour loi
la loi de τ 1 + τ
1 − 1, o` u τ 1 , τ
1 sont deux variables al´ eatoires ind´ ependantes,
de mˆ eme loi que τ 1 .
11. — L’exercice 3 du probl` eme des boˆ ıtes d’allumettes de Banach fournit
une d´ emonstration probabiliste de l’identit´ e
N
r=0
2N −r
N
(1/2)
2N −r = 1, que
l’on peut ´ etablir en utilisant l’identit´ e de Gauss (cf. Bailey,
2 p. 11), qui donne
une ´ evaluation de la fonction hyperg´ eom´ etrique en x =
1
2 , `
a savoir :
2 F 1
a, b
1
2 (a + b + 1)
;
1
2
=
Γ
1
2
Γ
1
2 +
1
2 a +
1
2 b
Γ
1
2 +
1
2 a
Γ
1
2 +
1
2 b
.
2 Bailey (W.N.). — Generalized Hypergeometric Series. — Cambridge, Cambridge
University Press, .
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
1) D´ eterminer la loi de T 1 .
2) On pose : τ 1 = T 1 , τ 2 = T 2 − T 1 , . . . , τ n = T n − T n−1 . Montrer que τ 1 ,
. . . , τ n sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes, de mˆ eme loi que T 1 .
3) Montrer que la loi conjointe de (T 1 , . . . , T n ) est donn´ ee par
P{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } =
p
q
n
q
t n , si 0 < t 1 < · · · < t n ;
0,
sinon.
4) ´
Etant donn´ e qu’` a la date m on a observ´ e n piles , calculer la loi
conditionnelle des positions de ces n piles . De fa¸ con pr´ ecise, posons
A = {N m = n} (0 ≤ n ≤ m) ;
B = {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } (1 ≤ t 1 < · · · < t n ≤ m).
Calculer P(B | A). On observera que le r´ esultat ne d´ epend pas de p et peut
s’interpr´ eter comme le choix au hasard de n parmi m points.
5) On se place ` a la date n ≥ 1. Alors
T N n est l’instant d’arriv´ ee du dernier pile (on pose T 0 = 0) ;
T N n +1 est l’instant d’arriv´ ee du prochain pile ;
τ N n +1 = T N n +1 −T N n est la longueur de l’intervalle entre deux piles
qui recouvre n.
Posons U n = n − T N n , V n = T N n +1 − n. On notera que les valeurs possibles
de U n sont 0, 1, . . . , n, et celles de V n sont 1, 2, . . .
a) Montrer que U n et V n sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes et
d´ eterminer leurs lois.
b) Calculer lim
n→∞
P{U n = i} (i = 0, 1, . . . ).
Remarque. — Comme τ N n +1 = U n +V n et que L(V n ) = L(τ 1 ), il r´ esulte de
5) a) que la longueur τ N n +1 de l’intervalle entre deux piles qui recouvre n
a tendance `
a ˆ etre plus grande que τ 1 ; c’est le paradoxe de l’inspection :
un inspecteur qui arrive `
a la date n dans l’intention d’estimer la distance
qui s´ epare deux apparitions cons´ ecutives de pile enregistre un nombre en
g´ en´ eral trop grand. Pour de grandes valeurs de n, cette distance a pour loi
la loi de τ 1 + τ
1 − 1, o` u τ 1 , τ
1 sont deux variables al´ eatoires ind´ ependantes,
de mˆ eme loi que τ 1 .
11. — L’exercice 3 du probl` eme des boˆ ıtes d’allumettes de Banach fournit
une d´ emonstration probabiliste de l’identit´ e
N
r=0
2N −r
N
(1/2)
2N −r = 1, que
l’on peut ´ etablir en utilisant l’identit´ e de Gauss (cf. Bailey,
2 p. 11), qui donne
une ´ evaluation de la fonction hyperg´ eom´ etrique en x =
1
2 , `
a savoir :
2 F 1
a, b
1
2 (a + b + 1)
;
1
2
=
Γ
1
2
Γ
1
2 +
1
2 a +
1
2 b
Γ
1
2 +
1
2 a
Γ
1
2 +
1
2 b
.
2 Bailey (W.N.). — Generalized Hypergeometric Series. — Cambridge, Cambridge
University Press, .