COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
77
9 (Poissonisation ; la solution propos´ ee requiert des techniques de fonctions
g´ en´ eratrices d´ evelopp´ ees au chap. 9). — Consid´ erons une suite de parties
ind´ ependantes de pile ou face . La probabilit´ e d’apparition de pile
en une partie est p ; on pose q = 1 − p. D´ esignons par (I k ) (k ≥ 1) la suite
correspondante des variables al´ eatoires indicatrices de pile .
1) Soit n un nombre entier tel que n ≥ 1. Posons N 1 =
n
k=1
I k , N 2 =
n
k=1
(1 − I k ). Il est clair que N 1 + N 2 = n, que N 1 et N 2 ne sont pas
ind´ ependantes et que L(N 1 ) = B(n, p), L(N 2 ) = B(n, q).
2) Soit N une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {0, 1, . . . }, ind´ ependante
de la suite (I k ) (k ≥ 1). Posons N 1 =
N
k=1
I k , N 2 =
N
k=1
(1 − I k ). Il est clair
que N 1 + N 2 = N . Montrer que
a) si N suit la loi de Poisson P(λ) de param` etre λ > 0, les variables
al´ eatoires N 1 et N 2 sont ind´ ependantes et L(N 1 ) = P(λp), L(N 2 ) = P(λq) ;
b) si N 1 et N 2 sont ind´ ependantes, alors N suit une loi de Poisson.
10 (Le paradoxe de l’inspection
1 ). — On consid` ere une suite de parties
ind´ ependantes de pile ou face , la probabilit´ e d’amener pile en une
partie ´ etant p (0 < p < 1) ; on pose q = 1 − p. Cette exp´ erience peut ˆ etre
mod´ elis´ ee au moyen de l’espace probabilis´ e (Ω, A, P), o` u
Ω est l’ensemble des suites ω = (ε 1 , ε 2 , . . . ), avec ε i ∈ {0, 1} ;
A est la tribu engendr´ ee par les sous-ensembles
A i 1 ,...,i n (a 1 , . . . , a n ) = {ω : ε i 1 (ω) = a 1 , . . . , ε i n (ω) = a n },
avec a 1 , . . . a n ∈ {0, 1}, 1 ≤ i 1 < · · · < i n , n ≥ 1 ;
P est la mesure de probabilit´ e sur (Ω, A) telle que
P
A i 1 ,...,i n (a 1 , . . . , a n )
= p
a 1 +···+a n q
n−(a 1 +···+a n ) .
On admettra l’existence d’un tel espace probabilis´ e. On pourra interpr´ eter
cette exp´ erience comme un processus de comptage dans lequel l’apparition
de pile est assimil´ ee ` a l’arriv´ ee d’un ´ ev` enement (panne d’une machine,
passage d’un autobus, . . . ). Les notions introduites ci-dessous prendront tout
leur sens dans une telle interpr´ etation. Introduisons les notations :
N n =
n
k=1
ε k : le nombre de piles amen´ es jusqu’` a la date n (n = 1, 2, . . . ).
(On pose N 0 = 0.)
T i (i ≥ 1) : l’instant d’arriv´ ee du i
i` eme pile . (On pose T 0 = 0.)
On notera que :
{T 1 = n} = {ε 1 = · · · = ε n−1 = 0 ; ε n = 1}
= {N 1 = · · · = N n−1 = 0 ; N n = 1};
{T i = n} = {N n−1 = i − 1 ; N n = i} (i ≥ 2).
1 Nous devons ` a Anatole Joffe cette id´ ee de retranscrire au cas discret, comme il est fait
ici, ce paradoxe de l’inspection bien connu pour les processus de Poisson.
EMENTS ET EXERCICES
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9 (Poissonisation ; la solution propos´ ee requiert des techniques de fonctions
g´ en´ eratrices d´ evelopp´ ees au chap. 9). — Consid´ erons une suite de parties
ind´ ependantes de pile ou face . La probabilit´ e d’apparition de pile
en une partie est p ; on pose q = 1 − p. D´ esignons par (I k ) (k ≥ 1) la suite
correspondante des variables al´ eatoires indicatrices de pile .
1) Soit n un nombre entier tel que n ≥ 1. Posons N 1 =
n
k=1
I k , N 2 =
n
k=1
(1 − I k ). Il est clair que N 1 + N 2 = n, que N 1 et N 2 ne sont pas
ind´ ependantes et que L(N 1 ) = B(n, p), L(N 2 ) = B(n, q).
2) Soit N une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {0, 1, . . . }, ind´ ependante
de la suite (I k ) (k ≥ 1). Posons N 1 =
N
k=1
I k , N 2 =
N
k=1
(1 − I k ). Il est clair
que N 1 + N 2 = N . Montrer que
a) si N suit la loi de Poisson P(λ) de param` etre λ > 0, les variables
al´ eatoires N 1 et N 2 sont ind´ ependantes et L(N 1 ) = P(λp), L(N 2 ) = P(λq) ;
b) si N 1 et N 2 sont ind´ ependantes, alors N suit une loi de Poisson.
10 (Le paradoxe de l’inspection
1 ). — On consid` ere une suite de parties
ind´ ependantes de pile ou face , la probabilit´ e d’amener pile en une
partie ´ etant p (0 < p < 1) ; on pose q = 1 − p. Cette exp´ erience peut ˆ etre
mod´ elis´ ee au moyen de l’espace probabilis´ e (Ω, A, P), o` u
Ω est l’ensemble des suites ω = (ε 1 , ε 2 , . . . ), avec ε i ∈ {0, 1} ;
A est la tribu engendr´ ee par les sous-ensembles
A i 1 ,...,i n (a 1 , . . . , a n ) = {ω : ε i 1 (ω) = a 1 , . . . , ε i n (ω) = a n },
avec a 1 , . . . a n ∈ {0, 1}, 1 ≤ i 1 < · · · < i n , n ≥ 1 ;
P est la mesure de probabilit´ e sur (Ω, A) telle que
P
A i 1 ,...,i n (a 1 , . . . , a n )
= p
a 1 +···+a n q
n−(a 1 +···+a n ) .
On admettra l’existence d’un tel espace probabilis´ e. On pourra interpr´ eter
cette exp´ erience comme un processus de comptage dans lequel l’apparition
de pile est assimil´ ee ` a l’arriv´ ee d’un ´ ev` enement (panne d’une machine,
passage d’un autobus, . . . ). Les notions introduites ci-dessous prendront tout
leur sens dans une telle interpr´ etation. Introduisons les notations :
N n =
n
k=1
ε k : le nombre de piles amen´ es jusqu’` a la date n (n = 1, 2, . . . ).
(On pose N 0 = 0.)
T i (i ≥ 1) : l’instant d’arriv´ ee du i
i` eme pile . (On pose T 0 = 0.)
On notera que :
{T 1 = n} = {ε 1 = · · · = ε n−1 = 0 ; ε n = 1}
= {N 1 = · · · = N n−1 = 0 ; N n = 1};
{T i = n} = {N n−1 = i − 1 ; N n = i} (i ≥ 2).
1 Nous devons ` a Anatole Joffe cette id´ ee de retranscrire au cas discret, comme il est fait
ici, ce paradoxe de l’inspection bien connu pour les processus de Poisson.