76 CHAPITRE 7 : VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
minimum de pr´ el` evements successifs qu’il faut effectuer pour amener r objets
d´ efectueux . Calculer la loi de T r .
3. Le probl` eme des boˆ ıtes d’allumettes de Banach. — Un fumeur a dans
chacune de ses poches droite et gauche une boˆ ıte d’allumettes (de contenance
N chacune). Lorsqu’il d´ esire une allumette, il choisit au hasard une de ses
poches (chacune avec probabilit´ e
1
2 ). On consid` ere le moment o` u, pour la
premi` ere fois, le fumeur s’aper¸ coit que l’une des boˆ ıtes est vide. A ce moment,
l’autre boˆ ıte peut contenir un nombre quelconque d’allumettes. On d´ esigne
par u r la probabilit´ e pour qu’elle en contienne r.
a) Calculer u r (r = 0, 1, . . . , N).
b) Calculer la probabilit´ e v r pour qu’au moment o` u la premi` ere boˆ ıte
est vid´ ee de sa derni` ere allumette (mais non encore reconnue vide) l’autre
boˆ ıte contienne exactement r allumettes.
c) Calculer la probabilit´ e v pour que la premi` ere boˆ ıte vid´ ee ne soit pas
la premi` ere boˆ ıte reconnue vide.
d) ´
Etablir, pour tout entier m ≥ 0 et tout r´ eel a, l’identit´ e :
n
k=0
a − k
N − 1
=
a + 1
N
−
a − n
N
.
e) D´ eduire de c) et d) que v =
2N
N
2
−(2N +1) .
4. — On pose b(k; n, p) =
n
k
p
k q
n−k (0 ≤ k ≤ n, 0 < p < 1, q =
1 − p). Montrer que l’application k → b(k; n, p) est d’abord croissante, puis
d´ ecroissante et qu’elle atteint sa valeur maximum pour k = m, o` u m est
l’(unique) entier v´ erifiant : (n + 1)p − 1 < m ≤ (n + 1)p. Si m = (n + 1)p, la
valeur maximum est atteinte pour k = m et k = m − 1.
5. — D´ eterminer le maximum de la suite p(k, λ) = e
−λ λ
k
k!
pour k ≥ 0 et
λ > 0.
6. — On choisit 500 personnes au hasard . Quelle est la probabilit´ e de
l’´ ev` enement trois personnes exactement, parmi les 500, ont leur anniversaire
le 1
er mars ?
7. (Caract´ erisation d’une loi de Poisson). — Soit X une variable al´ eatoire
` a valeurs dans N, telle que pour tout n dans N on ait p n = P{X = n} > 0.
Montrer que pour tout λ > 0, les deux propri´ et´ es sont ´ equivalentes :
a) X suit la loi de Poisson de param` etre λ ;
b) Pour tout n ≥ 1 on a
p n
p n−1
=
λ
n
.
8. — Soit X une variable al´ eatoire de loi g´ eom´ etrique
k≥1
pq
k−1 ε k
(0 < p < 1). Calculer E[1/X].
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
minimum de pr´ el` evements successifs qu’il faut effectuer pour amener r objets
d´ efectueux . Calculer la loi de T r .
3. Le probl` eme des boˆ ıtes d’allumettes de Banach. — Un fumeur a dans
chacune de ses poches droite et gauche une boˆ ıte d’allumettes (de contenance
N chacune). Lorsqu’il d´ esire une allumette, il choisit au hasard une de ses
poches (chacune avec probabilit´ e
1
2 ). On consid` ere le moment o` u, pour la
premi` ere fois, le fumeur s’aper¸ coit que l’une des boˆ ıtes est vide. A ce moment,
l’autre boˆ ıte peut contenir un nombre quelconque d’allumettes. On d´ esigne
par u r la probabilit´ e pour qu’elle en contienne r.
a) Calculer u r (r = 0, 1, . . . , N).
b) Calculer la probabilit´ e v r pour qu’au moment o` u la premi` ere boˆ ıte
est vid´ ee de sa derni` ere allumette (mais non encore reconnue vide) l’autre
boˆ ıte contienne exactement r allumettes.
c) Calculer la probabilit´ e v pour que la premi` ere boˆ ıte vid´ ee ne soit pas
la premi` ere boˆ ıte reconnue vide.
d) ´
Etablir, pour tout entier m ≥ 0 et tout r´ eel a, l’identit´ e :
n
k=0
a − k
N − 1
=
a + 1
N
−
a − n
N
.
e) D´ eduire de c) et d) que v =
2N
N
2
−(2N +1) .
4. — On pose b(k; n, p) =
n
k
p
k q
n−k (0 ≤ k ≤ n, 0 < p < 1, q =
1 − p). Montrer que l’application k → b(k; n, p) est d’abord croissante, puis
d´ ecroissante et qu’elle atteint sa valeur maximum pour k = m, o` u m est
l’(unique) entier v´ erifiant : (n + 1)p − 1 < m ≤ (n + 1)p. Si m = (n + 1)p, la
valeur maximum est atteinte pour k = m et k = m − 1.
5. — D´ eterminer le maximum de la suite p(k, λ) = e
−λ λ
k
k!
pour k ≥ 0 et
λ > 0.
6. — On choisit 500 personnes au hasard . Quelle est la probabilit´ e de
l’´ ev` enement trois personnes exactement, parmi les 500, ont leur anniversaire
le 1
er mars ?
7. (Caract´ erisation d’une loi de Poisson). — Soit X une variable al´ eatoire
` a valeurs dans N, telle que pour tout n dans N on ait p n = P{X = n} > 0.
Montrer que pour tout λ > 0, les deux propri´ et´ es sont ´ equivalentes :
a) X suit la loi de Poisson de param` etre λ ;
b) Pour tout n ≥ 1 on a
p n
p n−1
=
λ
n
.
8. — Soit X une variable al´ eatoire de loi g´ eom´ etrique
k≥1
pq
k−1 ε k
(0 < p < 1). Calculer E[1/X].