COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
75
On prend pour Ω l’ensemble des suites ω dont les termes appartiennent `
a
{A, B} et pour P l’(unique) mesure de probabilit´ e sur Ω telle que
P{X k = 1} = p
(k ≥ 1)
et qui rend les variables X 1 , X 2 , . . . ind´ ependantes.
On s’int´ eresse au nombre minimum T r de r´ ep´ etitions qu’il faut effectuer
pour amener r fois A (r ≥ 1). Autrement dit,
T r = inf{n : S n = r}.
On voit que le support de T r est {r, r+1, . . . }. Cherchons sa loi de probabilit´ e.
Pour tout n ≥ r on a {T r = n} = {S n−1 = r − 1, X n = 1}, d’o` u, en vertu de
l’ind´ ependance de S n−1 et de X n :
P{T r = n} = P{S n−1 = r − 1}P{X n = 1} =
n − 1
r − 1
p
r−1 q
n−r p.
En faisant le changement d’indices n = r + k (k ≥ 0), il vient :
P{T r = r + k} =
r + k − 1
r − 1
p
r q
k
(k ≥ 0).
Remarque 1. — Comme
r+k−1
r−1
= (r) k /k!, on a imm´ ediatement en vertu
de l’identit´ e binomiale la relation
k≥0
P{T r = r + k} =
k≥0
(r) k
k!
p
r q
k = p
r (1 − q)
−r = 1,
de sorte que P{T r < +∞} = 1. On peut encore ´ ecrire :
P{T r = r + k} =
−r
k
p
r (−q)
k .
Cette derni` ere forme de la probabilit´ e a fait donner `
a la loi de T r le nom de
loi binomiale n´ egative.
Remarque 2. — Pour r = 1 on retrouve la loi g´ eom´ etrique
k≥1
pq
k−1 ε k .
Remarque 3. — La variable al´ eatoire T r (r ≥ 1) que nous venons de d´ efinir
a pour support {r, r + 1, . . . }. La translat´ ee X r = T r − r aura pour support
{0, 1, . . . } ; elle peut ˆ etre interpr´ et´ ee comme le nombre d’´ echecs pr´ ec´ edant la
r
i` eme apparition de A ; sa loi est donn´ ee par P{X r = k} = P{T r = r + k}
(k ≥ 0). Pour r = 1 on retrouve la loi g´ eom´ etrique
k≥0
pq
k ε k .
2. — Une machine-outil produit `
a la chaˆ ıne des objets manufactur´ es et
l’on sait qu’en p´ eriode de marche normale la probabilit´ e pour qu’un objet soit
d´ efectueux (resp. non d´ efectueux) est p (resp. q = 1 − p). On se propose de
v´ erifier la machine. A cet effet, on a besoin de la variable al´ eatoire T r nombre
EMENTS ET EXERCICES
75
On prend pour Ω l’ensemble des suites ω dont les termes appartiennent `
a
{A, B} et pour P l’(unique) mesure de probabilit´ e sur Ω telle que
P{X k = 1} = p
(k ≥ 1)
et qui rend les variables X 1 , X 2 , . . . ind´ ependantes.
On s’int´ eresse au nombre minimum T r de r´ ep´ etitions qu’il faut effectuer
pour amener r fois A (r ≥ 1). Autrement dit,
T r = inf{n : S n = r}.
On voit que le support de T r est {r, r+1, . . . }. Cherchons sa loi de probabilit´ e.
Pour tout n ≥ r on a {T r = n} = {S n−1 = r − 1, X n = 1}, d’o` u, en vertu de
l’ind´ ependance de S n−1 et de X n :
P{T r = n} = P{S n−1 = r − 1}P{X n = 1} =
n − 1
r − 1
p
r−1 q
n−r p.
En faisant le changement d’indices n = r + k (k ≥ 0), il vient :
P{T r = r + k} =
r + k − 1
r − 1
p
r q
k
(k ≥ 0).
Remarque 1. — Comme
r+k−1
r−1
= (r) k /k!, on a imm´ ediatement en vertu
de l’identit´ e binomiale la relation
k≥0
P{T r = r + k} =
k≥0
(r) k
k!
p
r q
k = p
r (1 − q)
−r = 1,
de sorte que P{T r < +∞} = 1. On peut encore ´ ecrire :
P{T r = r + k} =
−r
k
p
r (−q)
k .
Cette derni` ere forme de la probabilit´ e a fait donner `
a la loi de T r le nom de
loi binomiale n´ egative.
Remarque 2. — Pour r = 1 on retrouve la loi g´ eom´ etrique
k≥1
pq
k−1 ε k .
Remarque 3. — La variable al´ eatoire T r (r ≥ 1) que nous venons de d´ efinir
a pour support {r, r + 1, . . . }. La translat´ ee X r = T r − r aura pour support
{0, 1, . . . } ; elle peut ˆ etre interpr´ et´ ee comme le nombre d’´ echecs pr´ ec´ edant la
r
i` eme apparition de A ; sa loi est donn´ ee par P{X r = k} = P{T r = r + k}
(k ≥ 0). Pour r = 1 on retrouve la loi g´ eom´ etrique
k≥0
pq
k ε k .
2. — Une machine-outil produit `
a la chaˆ ıne des objets manufactur´ es et
l’on sait qu’en p´ eriode de marche normale la probabilit´ e pour qu’un objet soit
d´ efectueux (resp. non d´ efectueux) est p (resp. q = 1 − p). On se propose de
v´ erifier la machine. A cet effet, on a besoin de la variable al´ eatoire T r nombre