74 CHAPITRE 7 : VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
Tables. — On a construit autrefois des tables num´ eriques (volumineuses)
des lois binomiales et de Poisson. Au si` ecle de l’ordinateur, ces tables ont
beaucoup moins d’utilit´ e. Pour la loi binomiale, il fallait pr´ evoir des tables ` a
trois entr´ ees (n, p, r). On y trouvait la valeur de :
P{X > r} =
n
k=r+1
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
Pour la loi de Poisson, les tables ´ etaient `
a deux entr´ ees (λ, c). On y trouvait
la valeur de : P{Y > c} =
∞
k=c+1
e
−λ λ
k /k! Si l’on utilise des tables num´ eriques
de fonctions eul´ eriennes Γ (gamma) et B (bˆ eta), il est bon de noter les
relations
n
k=r+1
n
k
p
k (1 − p)
n−k =
B(r + 1, n − r, p)
B(r + 1, n − r)
,
o` u, pour α > 0, β > 0 et 0 ≤ x ≤ 1, on pose
B(α, β, x) =
x
0
t
α−1 (1 − t)
β−1 dt, B(α, β, 1) = B(α, β) =
Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β)
,
et les relations
∞
k=r+1
e
−λ λ
k
k!
=
Γ(r + 1, λ)
Γ(r + 1)
,
o` u, pour x > 0 et z > 0, on pose
Γ(z, x) =
x
0
t
z−1 e
−t dt, Γ(z) = Γ(z, +∞) =
+∞
0
t
z−1 e
−t dt.
Les relations ci-dessus s’obtiennent par de simples int´ egrations par parties.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. La loi binomiale n´ egative dite de Pascal. — Consid´ erons une suite de
r´ ep´ etitions ind´ ependantes d’une alternative `
a deux r´ esultats possibles : A avec
probabilit´ e p et B avec probabilit´ e q = 1 − p. D´ esignons par A k l’´ ev` enement
la k
e r´ ep´ etition am` ene A et introduisons les variables al´ eatoires :
X k = I A k (k ≥ 1) ;
S n = X 1 + · · · + X n (n ≥ 1).