5. LA LOI DE POISSON
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est appel´ ee loi de Poisson de param` etre λ. (On la note souvent aussi P(λ).)
Une variable al´ eatoire suivant la loi π λ est dite de Poisson de param` etre λ.
Lemme 5.1. — Pour tout entier k ≥ 1 fix´ e, on a :
lim n
n
k
λ
n
k
1 −
λ
n
n−k
= e
−λ λ
k
k!
.
Le calcul de cette limite est banal et n’est pas reproduit ici. Le lemme
dit essentiellement que si B(n, p) est une loi binomiale telle que les deux
param` etres n et p sont li´ es par la relation np = λ > 0, alors pour n grand
la probabilit´ e
n
k
p
k q
n−k (pour qu’une variable binomiale de param` etres
(n, p) prenne la valeur k) est approximativement ´ egal ` a e
−λ λ
k /k!, qui est
la probabilit´ e pour qu’une variable de Poisson de param` etre λ prenne la
valeur k. On dit encore que la loi de Poisson est la loi des ´ ev` enements rares .
Remarque. — D’un point de vue pratique, on est conduit `
a introduire la
loi de Poisson dans les probl` emes du type suivant. Supposons que l’on fasse
des pr´ el` evements de n unit´ es dans une population ne comportant que deux
sortes d’individus A et B en proportion p et q (p + q = 1). Si n est grand
et p voisin de 0 de sorte que np soit, disons, compris entre 1 et 10, on peut
admettre que le nombre d’individus de l’esp` ece A dans un pr´ el` evement est
approximativement une variable al´ eatoire de Poisson de param` etre λ = np.
Soit X le nombre d’individus pr´ elev´ es de type A. La variable al´ eatoire
X est th´ eoriquement une variable binomiale de param` etres (n, p). Avec
l’approximation de la loi de Poisson, la probabilit´ e pour que X prenne la
valeur k n’est pas nulle, mˆ eme pour k > n, mais dans ce dernier cas, elle est
tr` es faible si les conditions pr´ ec´ edentes sont bien r´ ealis´ ees.
Remarque. — On peut trouver une majoration de l’erreur que l’on fait en
approximant la loi binomiale par la loi de Poisson, c’est-` a-dire une majoration
et une minoration pour
n
k
(λ/n)
k (1 − (λ/n))
n−k
e
−λ (λ
k /k!)
.
Exemple. — Dans une solution liquide contenant des particules en suspension, disons des bact´ eries A 1 et d’autres particules A 2 , le nombre de bact´ eries
est faible devant le nombre total des particules. D’autre part, mˆ eme dans un
volume r´ eduit de solution, le nombre de particules est grand. Pour d´ eterminer
la loi de probabilit´ e de la variable X nombre de bact´ eries dans un volume
´ el´ ementaire fix´ e , il faut, mˆ eme en utilisant la loi de Poisson, connaˆ ıtre la
proportion p de bact´ eries dans la solution. Pour estimer celle-ci, selon les
canons de la statistique, on pr´ el` eve une goutte de liquide et on l’´ etale sur
un h´ ematim` etre. Celui-ci a un grand nombre de cases (de l’ordre de quatre
cents). Si la solution est homog` ene, le nombre X i de bact´ eries dans la i
e case
(i = 1, 2, . . . , 400) est une variable al´ eatoire de Poisson de param` etre λ. Si
on r´ ealise une ´ epreuve ω, c’est-` a-dire une telle exp´ erimentation, on obtiendra
400 observations X 1 (ω), X 2 (ω), . . . , X 400 (ω) ind´ ependantes (homog´ en´ eit´ e du
liquide). Le param` etre p est alors estim´ e par
400
i=1 X i (ω)/400.
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est appel´ ee loi de Poisson de param` etre λ. (On la note souvent aussi P(λ).)
Une variable al´ eatoire suivant la loi π λ est dite de Poisson de param` etre λ.
Lemme 5.1. — Pour tout entier k ≥ 1 fix´ e, on a :
lim n
n
k
λ
n
k
1 −
λ
n
n−k
= e
−λ λ
k
k!
.
Le calcul de cette limite est banal et n’est pas reproduit ici. Le lemme
dit essentiellement que si B(n, p) est une loi binomiale telle que les deux
param` etres n et p sont li´ es par la relation np = λ > 0, alors pour n grand
la probabilit´ e
n
k
p
k q
n−k (pour qu’une variable binomiale de param` etres
(n, p) prenne la valeur k) est approximativement ´ egal ` a e
−λ λ
k /k!, qui est
la probabilit´ e pour qu’une variable de Poisson de param` etre λ prenne la
valeur k. On dit encore que la loi de Poisson est la loi des ´ ev` enements rares .
Remarque. — D’un point de vue pratique, on est conduit `
a introduire la
loi de Poisson dans les probl` emes du type suivant. Supposons que l’on fasse
des pr´ el` evements de n unit´ es dans une population ne comportant que deux
sortes d’individus A et B en proportion p et q (p + q = 1). Si n est grand
et p voisin de 0 de sorte que np soit, disons, compris entre 1 et 10, on peut
admettre que le nombre d’individus de l’esp` ece A dans un pr´ el` evement est
approximativement une variable al´ eatoire de Poisson de param` etre λ = np.
Soit X le nombre d’individus pr´ elev´ es de type A. La variable al´ eatoire
X est th´ eoriquement une variable binomiale de param` etres (n, p). Avec
l’approximation de la loi de Poisson, la probabilit´ e pour que X prenne la
valeur k n’est pas nulle, mˆ eme pour k > n, mais dans ce dernier cas, elle est
tr` es faible si les conditions pr´ ec´ edentes sont bien r´ ealis´ ees.
Remarque. — On peut trouver une majoration de l’erreur que l’on fait en
approximant la loi binomiale par la loi de Poisson, c’est-` a-dire une majoration
et une minoration pour
n
k
(λ/n)
k (1 − (λ/n))
n−k
e
−λ (λ
k /k!)
.
Exemple. — Dans une solution liquide contenant des particules en suspension, disons des bact´ eries A 1 et d’autres particules A 2 , le nombre de bact´ eries
est faible devant le nombre total des particules. D’autre part, mˆ eme dans un
volume r´ eduit de solution, le nombre de particules est grand. Pour d´ eterminer
la loi de probabilit´ e de la variable X nombre de bact´ eries dans un volume
´ el´ ementaire fix´ e , il faut, mˆ eme en utilisant la loi de Poisson, connaˆ ıtre la
proportion p de bact´ eries dans la solution. Pour estimer celle-ci, selon les
canons de la statistique, on pr´ el` eve une goutte de liquide et on l’´ etale sur
un h´ ematim` etre. Celui-ci a un grand nombre de cases (de l’ordre de quatre
cents). Si la solution est homog` ene, le nombre X i de bact´ eries dans la i
e case
(i = 1, 2, . . . , 400) est une variable al´ eatoire de Poisson de param` etre λ. Si
on r´ ealise une ´ epreuve ω, c’est-` a-dire une telle exp´ erimentation, on obtiendra
400 observations X 1 (ω), X 2 (ω), . . . , X 400 (ω) ind´ ependantes (homog´ en´ eit´ e du
liquide). Le param` etre p est alors estim´ e par
400
i=1 X i (ω)/400.