72 CHAPITRE 7 : VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
On appelle quelquefois loi g´ eom´ etrique de param` etre p la loi d´ efinie par
P =
∞
k=0
pq
k ε k .
Il conviendra dans chaque cas de s’assurer de quelle loi g´ eom´ etrique il s’agit.
Exemple. — Un joueur proc` ede ` a une suite de parties ind´ ependantes de
pile ou face et d´ ecide de s’arrˆ eter de jouer d` es que, pour la premi` ere
fois, il aura amen´ e pile . On s’int´ eresse au nombre X de parties qu’il lui
faudra jouer pour r´ ealiser son objectif. Pour d´ efinir X, on commence par
introduire l’ensemble Ω de toutes suites infinies d’issues possibles : ainsi un
´ el´ ement ω ∈ Ω est une suite (δ 1 , δ 2 , . . . ) de 0 et de 1, en convenant du fait
que le terme g´ en´ eral δ k vaut 0 ou 1, suivant qu’` a la k
i` eme partie face ou
pile apparaˆ ıt.
Si l’on veut faire apparaˆ ıtre X comme une variable al´ eatoire d´ efinie sur Ω,
l’´ ev` enement {X = k} le joueur s’arrˆ ete de jouer `
a la k
i` eme partie doit ˆ etre
probabilisable pour tout k fini. Il en est de mˆ eme de l’´ ev` enement {X = ∞}
le joueur joue ind´ efiniment ! Pour tout k = 1, 2, . . . , notons A k l’ensemble
des suites ω = (δ 1 , δ 2 , . . . ) telles que δ k = 1. Avec la convention prise, A k est
l’´ ev` enement “pile” apparaˆ ıt `
a la k
i` eme partie . Par cons´ equent, pour tout
k fini, on a {X = k} = A
c
1 . . . A
c
k−1 A k ; de plus, {X = ∞} = lim k A
c
1 . . . A
c
k .
Ainsi X est une variable al´ eatoire d´ efinie sur (Ω, A), si on prend pour A la
tribu engendr´ ee par les A k .
Enfin, pour rendre compte de l’ind´ ependance des parties et du fait que la
probabilit´ e d’amener pile en un coup est p (0 ≤ p ≤ 1), il faut prouver qu’il
existe une mesure de probabilit´ e P sur (Ω, A) telle que pour toute suite finie
(i 1 , i 2 , . . . , i k ) d’entiers distincts, on ait P(A i 1 A i 2 . . . A i k ) = p
k . Ce r´ esultat
sera ´ etabli au cours des Exercices 1-7 du chap. 10.
L’espace probabilis´ e (Ω, A, P) ´ etant ainsi construit, on voit alors que X
est d´ efinie sur cet espace et prend ses valeurs dans (R, B
1 ), en d´ esignant par
R la droite achev´ ee et par B
1 la tribu engendr´ ee par B
1
∪ {+∞} ∪ {−∞}. On
peut alors calculer la loi de probabilit´ e de X, soit, en posant q = 1 − p,
P{X = 1} = P(A 1 ) = p ;
P{X = k} = P(A
c
1 . . . A
c
k−1 A k ) = q
k−1 p,
pour k ≥ 2;
P{X = ∞} = P(lim k A
c
1 . . . A
c
k ) = lim k P(A
c
1 . . . A
c
k ) = lim k q
k = 0.
Si l’on n´ eglige la valeur +∞, on voit que X suit la loi g´ eom´ etrique de
param` etre p.
5. La loi de Poisson. — Soit λ un nombre r´ eel strictement positif. La
mesure de probabilit´ e π λ d´ efinie sur (R, B
1 ) par
(5.1)
π λ =
∞
k=0
e
−λ λ
k
k!
ε k ,
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
On appelle quelquefois loi g´ eom´ etrique de param` etre p la loi d´ efinie par
P =
∞
k=0
pq
k ε k .
Il conviendra dans chaque cas de s’assurer de quelle loi g´ eom´ etrique il s’agit.
Exemple. — Un joueur proc` ede ` a une suite de parties ind´ ependantes de
pile ou face et d´ ecide de s’arrˆ eter de jouer d` es que, pour la premi` ere
fois, il aura amen´ e pile . On s’int´ eresse au nombre X de parties qu’il lui
faudra jouer pour r´ ealiser son objectif. Pour d´ efinir X, on commence par
introduire l’ensemble Ω de toutes suites infinies d’issues possibles : ainsi un
´ el´ ement ω ∈ Ω est une suite (δ 1 , δ 2 , . . . ) de 0 et de 1, en convenant du fait
que le terme g´ en´ eral δ k vaut 0 ou 1, suivant qu’` a la k
i` eme partie face ou
pile apparaˆ ıt.
Si l’on veut faire apparaˆ ıtre X comme une variable al´ eatoire d´ efinie sur Ω,
l’´ ev` enement {X = k} le joueur s’arrˆ ete de jouer `
a la k
i` eme partie doit ˆ etre
probabilisable pour tout k fini. Il en est de mˆ eme de l’´ ev` enement {X = ∞}
le joueur joue ind´ efiniment ! Pour tout k = 1, 2, . . . , notons A k l’ensemble
des suites ω = (δ 1 , δ 2 , . . . ) telles que δ k = 1. Avec la convention prise, A k est
l’´ ev` enement “pile” apparaˆ ıt `
a la k
i` eme partie . Par cons´ equent, pour tout
k fini, on a {X = k} = A
c
1 . . . A
c
k−1 A k ; de plus, {X = ∞} = lim k A
c
1 . . . A
c
k .
Ainsi X est une variable al´ eatoire d´ efinie sur (Ω, A), si on prend pour A la
tribu engendr´ ee par les A k .
Enfin, pour rendre compte de l’ind´ ependance des parties et du fait que la
probabilit´ e d’amener pile en un coup est p (0 ≤ p ≤ 1), il faut prouver qu’il
existe une mesure de probabilit´ e P sur (Ω, A) telle que pour toute suite finie
(i 1 , i 2 , . . . , i k ) d’entiers distincts, on ait P(A i 1 A i 2 . . . A i k ) = p
k . Ce r´ esultat
sera ´ etabli au cours des Exercices 1-7 du chap. 10.
L’espace probabilis´ e (Ω, A, P) ´ etant ainsi construit, on voit alors que X
est d´ efinie sur cet espace et prend ses valeurs dans (R, B
1 ), en d´ esignant par
R la droite achev´ ee et par B
1 la tribu engendr´ ee par B
1
∪ {+∞} ∪ {−∞}. On
peut alors calculer la loi de probabilit´ e de X, soit, en posant q = 1 − p,
P{X = 1} = P(A 1 ) = p ;
P{X = k} = P(A
c
1 . . . A
c
k−1 A k ) = q
k−1 p,
pour k ≥ 2;
P{X = ∞} = P(lim k A
c
1 . . . A
c
k ) = lim k P(A
c
1 . . . A
c
k ) = lim k q
k = 0.
Si l’on n´ eglige la valeur +∞, on voit que X suit la loi g´ eom´ etrique de
param` etre p.
5. La loi de Poisson. — Soit λ un nombre r´ eel strictement positif. La
mesure de probabilit´ e π λ d´ efinie sur (R, B
1 ) par
(5.1)
π λ =
∞
k=0
e
−λ λ
k
k!
ε k ,