4. LA LOI G´ EOM´ ETRIQUE
71
Notons tout d’abord que la proportion de magistrats de droite dans
l’ensemble de tous les magistrats est de 300/500 = 60 %. On doit avoir,
ensuite, 1 ≤ 2p + 1 ≤ 500, soit 0 ≤ p ≤ 249. D´ esignons par S 2p+1 le nombre
de magistrats de gauche figurant dans le tribunal. La probabilit´ e cherch´ ee
est P 2p+1 = P{S 2p+1 ≤ p}, soit,
P 2p+1 =
p
k=0
P{S 2p+1 = k} =
p
k=0
200
k
300
2p+1−k
500
2p+1
.
(On pose
n
k
= 0, si les entiers n, k ne v´ erifient pas 0 ≤ k ≤ n.)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
10
0
2 0
3 0
4 0
5 0
Courbe repr´ esentative de la probabilit´ e P 2p+1 en fonction de p.
p
0
1
2
3
4
5
8
12
28 249
P 2p+1 0, 6 0, 648 0, 683 0, 711 0, 735 0, 756 0, 805 0, 852 0, 948 1
Fig. 1
L’´ etude des premi` eres valeurs de P 2p+1 montre que l’application p → P 2p+1
(cf. Fig. 1) croˆ ıt tr` es rapidement vers 1. Autrement dit, d` es que l’effectif du
tribunal augmente, il est quasiment certain que tribunal aura une majorit´ e ` a
droite. On ne peut donc jamais dans la composition d’un tribunal respecter
l’´ equilibre politique de l’ensemble des magistrats !
4. La loi g´ eom´ etrique. — Soit p un nombre r´ eel compris entre 0 et 1
et q = 1 − p. La mesure de probabilit´ e P d´ efinie sur (R, B
1 ) par
P =
∞
k=1
pq
k−1 ε k
est appel´ ee loi g´ eom´ etrique de param` etre p, on la notera G(p). On d´ efinit
bien l` a une mesure de probabilit´ e, puisque
∞
k=1
pq
k−1 = (p/(1 − q)) = 1.On
introduit souvent la fonction de survie
r(n) = P{X > n} =
k≥n+1
pq
k−1 = q
n .
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Notons tout d’abord que la proportion de magistrats de droite dans
l’ensemble de tous les magistrats est de 300/500 = 60 %. On doit avoir,
ensuite, 1 ≤ 2p + 1 ≤ 500, soit 0 ≤ p ≤ 249. D´ esignons par S 2p+1 le nombre
de magistrats de gauche figurant dans le tribunal. La probabilit´ e cherch´ ee
est P 2p+1 = P{S 2p+1 ≤ p}, soit,
P 2p+1 =
p
k=0
P{S 2p+1 = k} =
p
k=0
200
k
300
2p+1−k
500
2p+1
.
(On pose
n
k
= 0, si les entiers n, k ne v´ erifient pas 0 ≤ k ≤ n.)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
10
0
2 0
3 0
4 0
5 0
Courbe repr´ esentative de la probabilit´ e P 2p+1 en fonction de p.
p
0
1
2
3
4
5
8
12
28 249
P 2p+1 0, 6 0, 648 0, 683 0, 711 0, 735 0, 756 0, 805 0, 852 0, 948 1
Fig. 1
L’´ etude des premi` eres valeurs de P 2p+1 montre que l’application p → P 2p+1
(cf. Fig. 1) croˆ ıt tr` es rapidement vers 1. Autrement dit, d` es que l’effectif du
tribunal augmente, il est quasiment certain que tribunal aura une majorit´ e ` a
droite. On ne peut donc jamais dans la composition d’un tribunal respecter
l’´ equilibre politique de l’ensemble des magistrats !
4. La loi g´ eom´ etrique. — Soit p un nombre r´ eel compris entre 0 et 1
et q = 1 − p. La mesure de probabilit´ e P d´ efinie sur (R, B
1 ) par
P =
∞
k=1
pq
k−1 ε k
est appel´ ee loi g´ eom´ etrique de param` etre p, on la notera G(p). On d´ efinit
bien l` a une mesure de probabilit´ e, puisque
∞
k=1
pq
k−1 = (p/(1 − q)) = 1.On
introduit souvent la fonction de survie
r(n) = P{X > n} =
k≥n+1
pq
k−1 = q
n .