70 CHAPITRE 7 : VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
c) Pour estimer N on applique le principe du maximum de vraisemblance, c’est-` a-dire, les nombres r, n, k ´ etant fix´ es, on essaie de d´ eterminer N de telle sorte que l’expression (3.2.1) soit maximale. La valeur
N
(si elle existe) qui r´ ealise ce maximum est appel´ ee l’estimation de N par le
maximum de vraisemblance.
d) Montrons que si k ≥ 1, il existe une valeur
N et une seule qui
maximise (3.2.1) et cette valeur est l’entier le plus proche de nr/k.
En effet, formons le rapport
p(k, N )
p(k, N − 1)
=
N −r
n−k
N −r−1
n−k
N −1
n
N
n
=
(N − r)(N − n)
(N − r − n + k)N
.
Ce rapport est sup´ erieur `
a 1 ou inf´ erieur `
a 1, selon que Nk < nr ou Nk > nr.
Ceci montre que lorsque N croˆ ıt, la suite de terme g´ en´ eral p(k, N ) commence
par croˆ ıtre, puis elle d´ ecroˆ ıt et atteint son maximum lorsque N est ´ egal ` a
l’entier le plus proche de nr/k.
Supposons r = n = k ; alors
N = r. En d’autres termes, si la deuxi` eme
pˆ eche am` ene exactement autant de poisssons que la premi` ere et si ces poissons
sont tous marqu´ es, alors l’estimation par le maximum de vraisemblance du
nombre de poissons de l’´ etang est ´ egal au nombre minimum de poissons.
Application num´ erique. — Prenons r = n = 1000, k = 100. Le nombre
minimum des poissons dans l’´ etang est r + (n − k) = 1.900. L’estimation
de N par le maximum de vraisemblance est
N =
1000 × 1000
100
= 10.000.
e) Cas o` u k = 0 : On a vu que l’estimation de N par le maximum de
vraisemblance est possible lorsque k ≥ 1. Dans le cas k = 0, c’est-` a-dire, le
cas o` u, lors de la deuxi` eme pˆ eche, on n’a amen´ e aucun poisson marqu´ e sur les
n poissons pˆ ech´ es, on peut inf´ erer que le nombre N de poissons dans l’´ etang
est tr` es grand. Le calcul conforte cette intuition. En effet,
p(0, N)
p(0, N − 1)
=
(N − r)(N − n)
(N − r − n)N
> 1.
La suite de terme g´ en´ eral p(0, N) est strictement croissante ; il n’existe donc
pas de valeur de N qui maximise p(0, N) ; mais on constate que p(0, N) est
d’autant plus grand que N est grand.
3.3. Loi hyperg´ eom´ etrique et d´ ecisions judiciaires. — Supposons que parmi
500 magistrats, conseillers ` a la Cour d’Appel, il y en ait r = 200 qui d´ eclarent
avoir des affinit´ es avec les partis de gauche (appelons-les les magistrats de
gauche ) et s = 300 qui pensent pencher politiquement vers les partis de
droite (appelons-les les magistrats de droite ). On choisit au hasard
n = 2p + 1 magistrats parmi ces 500 magistrats pour former un tribunal.
Quelle est la probabilit´ e pour que ce tribunal ait une majorit´ e de droite ?
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
c) Pour estimer N on applique le principe du maximum de vraisemblance, c’est-` a-dire, les nombres r, n, k ´ etant fix´ es, on essaie de d´ eterminer N de telle sorte que l’expression (3.2.1) soit maximale. La valeur
N
(si elle existe) qui r´ ealise ce maximum est appel´ ee l’estimation de N par le
maximum de vraisemblance.
d) Montrons que si k ≥ 1, il existe une valeur
N et une seule qui
maximise (3.2.1) et cette valeur est l’entier le plus proche de nr/k.
En effet, formons le rapport
p(k, N )
p(k, N − 1)
=
N −r
n−k
N −r−1
n−k
N −1
n
N
n
=
(N − r)(N − n)
(N − r − n + k)N
.
Ce rapport est sup´ erieur `
a 1 ou inf´ erieur `
a 1, selon que Nk < nr ou Nk > nr.
Ceci montre que lorsque N croˆ ıt, la suite de terme g´ en´ eral p(k, N ) commence
par croˆ ıtre, puis elle d´ ecroˆ ıt et atteint son maximum lorsque N est ´ egal ` a
l’entier le plus proche de nr/k.
Supposons r = n = k ; alors
N = r. En d’autres termes, si la deuxi` eme
pˆ eche am` ene exactement autant de poisssons que la premi` ere et si ces poissons
sont tous marqu´ es, alors l’estimation par le maximum de vraisemblance du
nombre de poissons de l’´ etang est ´ egal au nombre minimum de poissons.
Application num´ erique. — Prenons r = n = 1000, k = 100. Le nombre
minimum des poissons dans l’´ etang est r + (n − k) = 1.900. L’estimation
de N par le maximum de vraisemblance est
N =
1000 × 1000
100
= 10.000.
e) Cas o` u k = 0 : On a vu que l’estimation de N par le maximum de
vraisemblance est possible lorsque k ≥ 1. Dans le cas k = 0, c’est-` a-dire, le
cas o` u, lors de la deuxi` eme pˆ eche, on n’a amen´ e aucun poisson marqu´ e sur les
n poissons pˆ ech´ es, on peut inf´ erer que le nombre N de poissons dans l’´ etang
est tr` es grand. Le calcul conforte cette intuition. En effet,
p(0, N)
p(0, N − 1)
=
(N − r)(N − n)
(N − r − n)N
> 1.
La suite de terme g´ en´ eral p(0, N) est strictement croissante ; il n’existe donc
pas de valeur de N qui maximise p(0, N) ; mais on constate que p(0, N) est
d’autant plus grand que N est grand.
3.3. Loi hyperg´ eom´ etrique et d´ ecisions judiciaires. — Supposons que parmi
500 magistrats, conseillers ` a la Cour d’Appel, il y en ait r = 200 qui d´ eclarent
avoir des affinit´ es avec les partis de gauche (appelons-les les magistrats de
gauche ) et s = 300 qui pensent pencher politiquement vers les partis de
droite (appelons-les les magistrats de droite ). On choisit au hasard
n = 2p + 1 magistrats parmi ces 500 magistrats pour former un tribunal.
Quelle est la probabilit´ e pour que ce tribunal ait une majorit´ e de droite ?