3. LA LOI HYPERG ´
EOM ´
ETRIQUE
69
o` u max{0, n− (N − M )} ≤ k ≤ min{n, M }, est appel´ ee loi hyperg´ eom´ etrique.
Le fait que
k
M
k
N −M
n−k
N
n
= 1
se d´ eduit directement de l’identit´ e (1 + z)
M (1 + z)
N −M = (1 + z)
N , en
calculant le coefficient de z
n dans les deux membres. On appelle de mˆ eme
variable al´ eatoire hyperg´ eom´ etrique une variable al´ eatoire dont la loi de
probabilit´ e est hyperg´ eom´ etrique.
3.1. Exemple (le tirage sans remise). — Une urne contient M boules
blanches et N − M boules noires (M < N). On tire, sans les remettre dans
l’urne, n boules successivement (n ≤ N ). Le nombre X de boules blanches
amen´ ees parmi ces n boules est une variable al´ eatoire hyperg´ eom´ etrique de
param` etres (n, N, M ). On a par exemple, pour max{0, n − (N − M )} ≤ k ≤
min{n, M } la probabilit´ e :
P {X = k} =
M
k
N −M
n−k
N
n
.
Il est bon de noter, bien que cela ne soit pas apparent, que cette expression
est sym´ etrique en M et n.
Remarque. — Lorsque, n et k restant fix´ es (0 ≤ k ≤ n), on fait tendre M
et N −M vers l’infini de telle sorte que M/N → p ∈]0, 1[, un calcul de routine
montre que
M
k
N −M
n−k
N
n
→
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
On dit que, dans les conditions indiqu´ ees, la loi hyperg´ eom´ etrique H(n, N, M )
converge vers la loi binomiale B(n, p) (cf. chap. 16, § 6).
3.2. Application : comment compter les poissons dans un ´ etang. — Un
´ etang contient un nombre inconnu N ≥ 1 de poissons. Pour d´ eterminer N on
effectue une premi` ere pˆ eche qui am` ene r ≥ 1 poissons que l’on marque, puis
que l’on relˆ ache. On effectue ensuite une deuxi` eme pˆ eche qui am` ene n ≥ 1
poissons, parmi lesquels on trouve k ≥ 0 poissons marqu´ es. On se propose
d’estimer N ` a partir de k.
a) La probabilit´ e pour que, l’´ etang contenant N poissons, la deuxi` eme
pˆ eche ait amen´ e k ≥ 0 poissons marqu´ es est
(3.2.1)
p(k, N ) =
r
k
N −r
n−k
N
n
.
(N est inconnu ; r, n, k sont connus, ce sont des observations.)
b) On a pˆ ech´ e en tout r + (n − k) poissons diff´ erents. Par cons´ equent,
N ≥ r + (n − k) : c’est tout ce qu’on peut affirmer avec certitude. Il est
parfaitement possible que l’´ etang ne contienne que r + (n − k) poissons, mais
cet ´ ev` enement est hautement improbable.
EOM ´
ETRIQUE
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o` u max{0, n− (N − M )} ≤ k ≤ min{n, M }, est appel´ ee loi hyperg´ eom´ etrique.
Le fait que
k
M
k
N −M
n−k
N
n
= 1
se d´ eduit directement de l’identit´ e (1 + z)
M (1 + z)
N −M = (1 + z)
N , en
calculant le coefficient de z
n dans les deux membres. On appelle de mˆ eme
variable al´ eatoire hyperg´ eom´ etrique une variable al´ eatoire dont la loi de
probabilit´ e est hyperg´ eom´ etrique.
3.1. Exemple (le tirage sans remise). — Une urne contient M boules
blanches et N − M boules noires (M < N). On tire, sans les remettre dans
l’urne, n boules successivement (n ≤ N ). Le nombre X de boules blanches
amen´ ees parmi ces n boules est une variable al´ eatoire hyperg´ eom´ etrique de
param` etres (n, N, M ). On a par exemple, pour max{0, n − (N − M )} ≤ k ≤
min{n, M } la probabilit´ e :
P {X = k} =
M
k
N −M
n−k
N
n
.
Il est bon de noter, bien que cela ne soit pas apparent, que cette expression
est sym´ etrique en M et n.
Remarque. — Lorsque, n et k restant fix´ es (0 ≤ k ≤ n), on fait tendre M
et N −M vers l’infini de telle sorte que M/N → p ∈]0, 1[, un calcul de routine
montre que
M
k
N −M
n−k
N
n
→
n
k
p
k (1 − p)
n−k .
On dit que, dans les conditions indiqu´ ees, la loi hyperg´ eom´ etrique H(n, N, M )
converge vers la loi binomiale B(n, p) (cf. chap. 16, § 6).
3.2. Application : comment compter les poissons dans un ´ etang. — Un
´ etang contient un nombre inconnu N ≥ 1 de poissons. Pour d´ eterminer N on
effectue une premi` ere pˆ eche qui am` ene r ≥ 1 poissons que l’on marque, puis
que l’on relˆ ache. On effectue ensuite une deuxi` eme pˆ eche qui am` ene n ≥ 1
poissons, parmi lesquels on trouve k ≥ 0 poissons marqu´ es. On se propose
d’estimer N ` a partir de k.
a) La probabilit´ e pour que, l’´ etang contenant N poissons, la deuxi` eme
pˆ eche ait amen´ e k ≥ 0 poissons marqu´ es est
(3.2.1)
p(k, N ) =
r
k
N −r
n−k
N
n
.
(N est inconnu ; r, n, k sont connus, ce sont des observations.)
b) On a pˆ ech´ e en tout r + (n − k) poissons diff´ erents. Par cons´ equent,
N ≥ r + (n − k) : c’est tout ce qu’on peut affirmer avec certitude. Il est
parfaitement possible que l’´ etang ne contienne que r + (n − k) poissons, mais
cet ´ ev` enement est hautement improbable.