68 CHAPITRE 7 : VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
De mˆ eme si X : (Ω, A, P) → (R
p , B
p ) est une variable al´ eatoire telle que
X(Ω) est au plus d´ enombrable, alors X est une variable al´ eatoire discr` ete. En
particulier, lorsque p = 1 et que X(Ω) est fini, on peut ´ ecrire
X =
n
k=1
x k I A k ,
o` u X(Ω) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } et A k = X
−1 ({x k }) = {X = x k } (1 ≤ k ≤ n).
Les ensembles A k (1 ≤ k ≤ n) appartiennent `
a A et sont disjoints deux
` a deux. Une telle variable al´ eatoire est dite simple ou ´ etag´ ee. Sa loi de
probabilit´ e P X est donn´ ee par :
P X =
n
k=1
P(A k )ε x k .
Une variable al´ eatoire simple est discr` ete, elle ne peut prendre qu’un nombre
fini de valeurs (les x k ). En revanche, chacune de ces valeurs peut ˆ etre prise
en une infinit´ e non d´ enombrable de points ω ∈ Ω. En effet, des ensembles A k
peuvent admettre la puissance du continu.
Dans les paragraphes suivants, nous passons en revue quelques mesures
de probabilit´ e discr` etes rencontr´ ees dans les applications. Pour des raisons
de commodit´ e, elles sont d´ efinies sur l’espace (R, B
1 ).
2. La loi binomiale. — Soit p un nombre r´ eel tel que 0 ≤ p ≤ 1 et n un
nombre entier positif. La mesure de probabilit´ e B(n, p) d´ efinie sur (R, B
1 )
par
B(n, p) =
n
k=0
n
k
p
k q
n−k ε k ,
o` u q = 1 − p, est appel´ ee loi binomiale de param` etres (n, p). La loi B(1, p) =
qε 0 + pε 1 est appel´ ee loi de Bernoulli de param` etre p.
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire r´ eelle X ayant une loi de probabilit´ e
binomiale B(n, p) est dite binomiale de param` etres (n, p).
Par exemple, dans le tirage avec remise, si la proportion de boules blanches
dans l’urne est ´ egale ` a p et si le nombre de tirages est ´ egal ` a n, alors la variable
al´ eatoire X nombre de boules blanches tir´ ees est une variable al´ eatoire
binomiale de param` etres (n, p). De mˆ eme, si A est un ´ ev` enement d’un espace
probabilis´ e (Ω, A, P), la variable al´ eatoire I A est une variable de Bernoulli de
param` etre p = P(A).
3. La loi hyperg´ eom´ etrique. — Soient n, N , M trois entiers positifs
tels que n ≤ N , M < N. La mesure de probabilit´ e H(n, N, M ) d´ efinie par
H(n, N, M ) =
k
M
k
N −M
n−k
N
n
ε k ,