CHAPITRE 7
VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
Le but de ce chapitre est de passer en revue les principales lois de
probabilit´ e discr` etes, loi binomiale, loi hyperg´ eom´ etrique, loi g´ eom´ etrique,
loi de Poisson, et de donner le champ d’application de ces lois. Les probl` emes
des boˆ ıtes d’allumettes de Banach , de la poissonisation et du paradoxe
de l’inspection sont trait´ es dans les exercices 3, 8 et 9.
1. Variables al´ eatoires discr` etes. — La notion de mesure de probabilit´ e discr` ete a ´ et´ e introduite au chap. 4, § 1. Par ailleurs, on a not´ e au
chap. 5, § 4, Remarque 1, que si P est une mesure de probabilit´ e sur l’espace (R
n , B
n ), par exemple discr` ete, on peut toujours trouver une variable
al´ eatoire qui admette P comme loi de probabilit´ e. Il est donc naturel d’introduire la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X, `
a valeurs dans R
n , est dite
discr` ete, si la loi de probabilit´ e P X est une mesure de probabilit´ e discr` ete
sur (R
n , B
n ).
Soit P X =
k α k ε x k la loi de probabilit´ e d’une telle variable al´ eatoire.
Comme la tribu bor´ elienne B
n contient tous les ensembles r´ eduits `
a un seul
´ el´ ement {x} (x ∈ R
n ), on peut ´ ecrire :
(1.1)
P X
{x}
=
α k , si x = x k ;
0,
si x ∈ {x 1 , x 2 , . . . }.
En particulier, si une telle variable al´ eatoire X est d´ efinie sur l’espace
probabilis´ e (Ω, A, P), on peut ´ ecrire, pour tout x ∈ R
n ,
P X
{x}
= P
X ∈ {x}
= P{X = x},
qui se lit probabilit´ e que X soit ´ egal ` a x . En r´ ecrivant les formules (1.1),
on obtient ainsi :
P{X = x k } = α k
et
P{X = x} = 0 si x ∈ {x 1 , x 2 , . . . }.
De mˆ eme, pour tout B ∈ B
n , on a P{X ∈ B} =
P{X = x k }, o` u la
sommation est ´ etendue `
a tous les x k pour lesquels x k ∈ B.
Si x 0 est un ´ el´ ement de R
n et si la loi de probabilit´ e de la variable al´ eatoire
X est singuli` ere et ´ egale ` a ε x 0 , on a :
P{X = x 0 } = 1
et
P{X = x} = 0 si x = x 0 .
On dit alors que X est P-presque sˆ urement constante (´ egale ` a x 0 ). R´ eciproquement, la loi de probabilit´ e d’une fonction constante est singuli` ere.
VARIABLES AL ´
EATOIRES DISCR `
ETES. LOIS USUELLES
Le but de ce chapitre est de passer en revue les principales lois de
probabilit´ e discr` etes, loi binomiale, loi hyperg´ eom´ etrique, loi g´ eom´ etrique,
loi de Poisson, et de donner le champ d’application de ces lois. Les probl` emes
des boˆ ıtes d’allumettes de Banach , de la poissonisation et du paradoxe
de l’inspection sont trait´ es dans les exercices 3, 8 et 9.
1. Variables al´ eatoires discr` etes. — La notion de mesure de probabilit´ e discr` ete a ´ et´ e introduite au chap. 4, § 1. Par ailleurs, on a not´ e au
chap. 5, § 4, Remarque 1, que si P est une mesure de probabilit´ e sur l’espace (R
n , B
n ), par exemple discr` ete, on peut toujours trouver une variable
al´ eatoire qui admette P comme loi de probabilit´ e. Il est donc naturel d’introduire la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Une variable al´ eatoire X, `
a valeurs dans R
n , est dite
discr` ete, si la loi de probabilit´ e P X est une mesure de probabilit´ e discr` ete
sur (R
n , B
n ).
Soit P X =
k α k ε x k la loi de probabilit´ e d’une telle variable al´ eatoire.
Comme la tribu bor´ elienne B
n contient tous les ensembles r´ eduits `
a un seul
´ el´ ement {x} (x ∈ R
n ), on peut ´ ecrire :
(1.1)
P X
{x}
=
α k , si x = x k ;
0,
si x ∈ {x 1 , x 2 , . . . }.
En particulier, si une telle variable al´ eatoire X est d´ efinie sur l’espace
probabilis´ e (Ω, A, P), on peut ´ ecrire, pour tout x ∈ R
n ,
P X
{x}
= P
X ∈ {x}
= P{X = x},
qui se lit probabilit´ e que X soit ´ egal ` a x . En r´ ecrivant les formules (1.1),
on obtient ainsi :
P{X = x k } = α k
et
P{X = x} = 0 si x ∈ {x 1 , x 2 , . . . }.
De mˆ eme, pour tout B ∈ B
n , on a P{X ∈ B} =
P{X = x k }, o` u la
sommation est ´ etendue `
a tous les x k pour lesquels x k ∈ B.
Si x 0 est un ´ el´ ement de R
n et si la loi de probabilit´ e de la variable al´ eatoire
X est singuli` ere et ´ egale ` a ε x 0 , on a :
P{X = x 0 } = 1
et
P{X = x} = 0 si x = x 0 .
On dit alors que X est P-presque sˆ urement constante (´ egale ` a x 0 ). R´ eciproquement, la loi de probabilit´ e d’une fonction constante est singuli` ere.