66 CHAPITRE 6 : PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
La variable al´ eatoire X i repr´ esente le nombre de boules de couleur C i tir´ ees
au cours de n tirages. Montrer que l’on peut construire un triplet (Ω, P(Ω), P)
tel que :
a) Les variables al´ eatoires X i 1 ,1 , . . . , X i n ,n sont mutuellement ind´ ependantes pour toute suite (i 1 , . . . , i n ) ∈ {1, . . . , k}
n . En outre
P{X ij = 1} = p i
(1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n).
b) La loi de probabilit´ e du vecteur al´ eatoire ` a k dimensions X =
(X 1 , . . . , X k ) est donn´ ee par :
P{X 1 = n 1 , . . . , X k = n k } =
n
n 1 , . . . , n k
p
n 1
1 . . . p
n k
k .
C’est la loi multinomiale.
16. — Trois personnes A, B, C sont plac´ ees au hasard sur une ligne
droite. On consid` ere les deux ´ ev` enements :
E B est ` a la droite de A ;
F C est ` a la droite de A .
Les ´ ev` enements E et F sont-ils ind´ ependants, si l’on prend l’´ equir´ epartition
sur l’ensemble fondamental ?
17. — Soit Ω l’ensemble des huit issues r´ esultant de trois jets cons´ ecutifs
d’une pi` ece de monnaie. On consid` ere les deux ´ ev` enements :
A la premi` ere pi` ece am` ene pile ;
B pile est amen´ e au moins deux fois .
a) Les ´ ev` enements A et B sont-ils ind´ ependants, si l’on munit Ω de
l’´ equir´ epartition ?
b) Existe-t-il une mesure de probabilit´ e P sur Ω telle que A et B soient
P-ind´ ependants ?
18 (E. Kosmanek). — Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et A, B deux
´ ev` enements de A. Alors |P(A ∩ B) − P(A)P(B)| ≤
1
4 .
On peut donner plusieurs d´ emonstrations de cette in´ egalit´ e qui d´ ecoulent
en fait de l’in´ egalit´ e de Schwarz. Une d´ emonstration directe consiste ` a
consid´ erer les atomes A ∩ B, A ∩ B
c , A
c
∩ B, A
c
∩ B
c . En notant α, β, γ,
δ, leurs probabilit´ es respectives, on a la relation α + β + γ + δ = 1. Posant
e(A, B) = P(A∩B)−P(A)P(B), on en d´ eduit : e(A, B) = α−(α+β)(α+γ) =
α(1 − α − β − γ) − βγ = αδ − βγ, d’o` u e(A, B) ≤ αδ ≤
1
4 (puisque α, δ ≥ 0,
α + δ ≤ 1) et e(A, B) ≥ −βγ ≥ −
1
4 (puisque β, γ ≥ 0, β + γ ≤ 1).
On remarque que l’identit´ e αδ − βγ = 0 fournit une condition n´ ecessaire
et suffisante pour que les ´ ev` enements A et B soient ind´ ependants.
19. — On dispose d’un d´ e parfait. Imaginer une exp´ erience comportant
douze ´ ev` enements disjoints ´ equiprobables.
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
La variable al´ eatoire X i repr´ esente le nombre de boules de couleur C i tir´ ees
au cours de n tirages. Montrer que l’on peut construire un triplet (Ω, P(Ω), P)
tel que :
a) Les variables al´ eatoires X i 1 ,1 , . . . , X i n ,n sont mutuellement ind´ ependantes pour toute suite (i 1 , . . . , i n ) ∈ {1, . . . , k}
n . En outre
P{X ij = 1} = p i
(1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n).
b) La loi de probabilit´ e du vecteur al´ eatoire ` a k dimensions X =
(X 1 , . . . , X k ) est donn´ ee par :
P{X 1 = n 1 , . . . , X k = n k } =
n
n 1 , . . . , n k
p
n 1
1 . . . p
n k
k .
C’est la loi multinomiale.
16. — Trois personnes A, B, C sont plac´ ees au hasard sur une ligne
droite. On consid` ere les deux ´ ev` enements :
E B est ` a la droite de A ;
F C est ` a la droite de A .
Les ´ ev` enements E et F sont-ils ind´ ependants, si l’on prend l’´ equir´ epartition
sur l’ensemble fondamental ?
17. — Soit Ω l’ensemble des huit issues r´ esultant de trois jets cons´ ecutifs
d’une pi` ece de monnaie. On consid` ere les deux ´ ev` enements :
A la premi` ere pi` ece am` ene pile ;
B pile est amen´ e au moins deux fois .
a) Les ´ ev` enements A et B sont-ils ind´ ependants, si l’on munit Ω de
l’´ equir´ epartition ?
b) Existe-t-il une mesure de probabilit´ e P sur Ω telle que A et B soient
P-ind´ ependants ?
18 (E. Kosmanek). — Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et A, B deux
´ ev` enements de A. Alors |P(A ∩ B) − P(A)P(B)| ≤
1
4 .
On peut donner plusieurs d´ emonstrations de cette in´ egalit´ e qui d´ ecoulent
en fait de l’in´ egalit´ e de Schwarz. Une d´ emonstration directe consiste ` a
consid´ erer les atomes A ∩ B, A ∩ B
c , A
c
∩ B, A
c
∩ B
c . En notant α, β, γ,
δ, leurs probabilit´ es respectives, on a la relation α + β + γ + δ = 1. Posant
e(A, B) = P(A∩B)−P(A)P(B), on en d´ eduit : e(A, B) = α−(α+β)(α+γ) =
α(1 − α − β − γ) − βγ = αδ − βγ, d’o` u e(A, B) ≤ αδ ≤
1
4 (puisque α, δ ≥ 0,
α + δ ≤ 1) et e(A, B) ≥ −βγ ≥ −
1
4 (puisque β, γ ≥ 0, β + γ ≤ 1).
On remarque que l’identit´ e αδ − βγ = 0 fournit une condition n´ ecessaire
et suffisante pour que les ´ ev` enements A et B soient ind´ ependants.
19. — On dispose d’un d´ e parfait. Imaginer une exp´ erience comportant
douze ´ ev` enements disjoints ´ equiprobables.