COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
65
Alors
a) Les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X n sont mutuellement ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, la loi de probabilit´ e de X k ´ etant :
P{X k = 1} = p, P{X k = 0} = 1 − p,
k = 1, . . . , n.
b) La loi de probabilit´ e de S n est donn´ ee par :
P{S n = i} =
n
i
p
i (1 − p)
n−i
0 ≤ i ≤ n.
La variable al´ eatoire S n suit une loi binomiale, d’o` u le nom du mod` ele.
Tirage sans remise ; mod` ele hyperg´ eom´ etrique. — Dans ce cas, le proc´ ed´ e
est exhaustif, l’urne est vide apr` es le (r + s)
e tirage, et 1 ≤ n ≤ r + s.
´
Etudions le (r + s)-uple (X 1 , . . . , X r+s ). A cet effet, nous prenons pour Ω
l’ensemble des ´ el´ ements ω = A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε r+s
r+s , o` u (ε 1 , . . . , ε r+s ) est une suite
contenant exactement r chiffres 1 et s chiffres 0. Les boules blanches ´ etant
indiscernables (de mˆ eme que les noires), on a card Ω =
r+s
r
. Nous prenons
ensuite pour P l’´ equir´ epartition sur Ω. Alors
a) Les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X r+s ne sont pas mutuellement
ind´ ependantes (on a, par exemple, X 1 + · · · + X r+s = r), mais elles sont
identiquement distribu´ ees, la loi de probabilit´ e de X k ´ etant donn´ ee par :
P{X k = 1} =
r
r + s
= p, P{X k = 0} = 1 − p,
k = 1, . . . , r + s.
b) Soit 1 ≤ n ≤ r + s. La loi de probabilit´ e de S n = X 1 + · · · + X n est
donn´ ee par
P{S n = i} =
r
i
s
n−i
r+s
n
si max(0, n − s) ≤ i ≤ min(n, r) ;
0,
sinon.
La variable al´ eatoire S n suit une loi hyperg´ eom´ etrique, d’o` u le nom du mod` ele.
14. — Reprendre l’exercice 13, avec les mˆ emes notations. Calculer l’expression P{X k = 1 | S n = i}, k ≤ n, dans le cas du tirage avec remise, puis
sans remise.
15. G´ en´ eralisation de l’exercice 13 (mod` ele multinomial ). — On suppose
que l’urne contient r 1 boules de couleur C 1 , . . . , r k boules de couleur C k , les
couleurs C 1 , . . . , C k ´ etant distinctes, et l’on fait la mˆ eme exp´ erience que dans
l’exercice 13 (n extractions suivies de n remises). On pose : r 1 + · · ·+ r k = m,
p i = r i /m (1 ≤ i ≤ k). On d´ esigne par A ij l’´ ev` enement on am` ene une boule
de couleur C i au j
e tirage (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n). Enfin, on introduit les
variables al´ eatoires :
X ij = I A ij (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n) ;
X i =
n
j=1
X ij (1 ≤ i ≤ k).
EMENTS ET EXERCICES
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Alors
a) Les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X n sont mutuellement ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees, la loi de probabilit´ e de X k ´ etant :
P{X k = 1} = p, P{X k = 0} = 1 − p,
k = 1, . . . , n.
b) La loi de probabilit´ e de S n est donn´ ee par :
P{S n = i} =
n
i
p
i (1 − p)
n−i
0 ≤ i ≤ n.
La variable al´ eatoire S n suit une loi binomiale, d’o` u le nom du mod` ele.
Tirage sans remise ; mod` ele hyperg´ eom´ etrique. — Dans ce cas, le proc´ ed´ e
est exhaustif, l’urne est vide apr` es le (r + s)
e tirage, et 1 ≤ n ≤ r + s.
´
Etudions le (r + s)-uple (X 1 , . . . , X r+s ). A cet effet, nous prenons pour Ω
l’ensemble des ´ el´ ements ω = A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε r+s
r+s , o` u (ε 1 , . . . , ε r+s ) est une suite
contenant exactement r chiffres 1 et s chiffres 0. Les boules blanches ´ etant
indiscernables (de mˆ eme que les noires), on a card Ω =
r+s
r
. Nous prenons
ensuite pour P l’´ equir´ epartition sur Ω. Alors
a) Les variables al´ eatoires X 1 , . . . , X r+s ne sont pas mutuellement
ind´ ependantes (on a, par exemple, X 1 + · · · + X r+s = r), mais elles sont
identiquement distribu´ ees, la loi de probabilit´ e de X k ´ etant donn´ ee par :
P{X k = 1} =
r
r + s
= p, P{X k = 0} = 1 − p,
k = 1, . . . , r + s.
b) Soit 1 ≤ n ≤ r + s. La loi de probabilit´ e de S n = X 1 + · · · + X n est
donn´ ee par
P{S n = i} =
r
i
s
n−i
r+s
n
si max(0, n − s) ≤ i ≤ min(n, r) ;
0,
sinon.
La variable al´ eatoire S n suit une loi hyperg´ eom´ etrique, d’o` u le nom du mod` ele.
14. — Reprendre l’exercice 13, avec les mˆ emes notations. Calculer l’expression P{X k = 1 | S n = i}, k ≤ n, dans le cas du tirage avec remise, puis
sans remise.
15. G´ en´ eralisation de l’exercice 13 (mod` ele multinomial ). — On suppose
que l’urne contient r 1 boules de couleur C 1 , . . . , r k boules de couleur C k , les
couleurs C 1 , . . . , C k ´ etant distinctes, et l’on fait la mˆ eme exp´ erience que dans
l’exercice 13 (n extractions suivies de n remises). On pose : r 1 + · · ·+ r k = m,
p i = r i /m (1 ≤ i ≤ k). On d´ esigne par A ij l’´ ev` enement on am` ene une boule
de couleur C i au j
e tirage (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n). Enfin, on introduit les
variables al´ eatoires :
X ij = I A ij (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n) ;
X i =
n
j=1
X ij (1 ≤ i ≤ k).