64 CHAPITRE 6 : PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
a) Un p` ere de famille d´ eclare avoir deux enfants. Calculer la probabilit´ e
pour que les deux soient des gar¸ cons, sachant que
α) l’un au moins est un gar¸ con ; β) l’aˆ ın´ e est un gar¸ con.
b) On choisit au hasard un enfant dans une famille de deux enfants.
Sachant que l’enfant choisi est un gar¸ con, quelle est la probabilit´ e pour que
les deux enfants de la famille soient des gar¸ cons ?
9. — Trouver une condition n´ ecessaire et suffisante pour qu’une variable
al´ eatoire X soit ind´ ependante d’elle-mˆ eme.
10. — Soient X 1 , X 2 deux variables al´ eatoires ind´ ependantes ayant la
loi de probabilit´ e commune
1
2 (ε −1 + ε +1 ) . Est-ce que les trois variables X 1 ,
X 2 , X 3 = X 1 X 2 sont mutuellement ind´ ependantes ou ind´ ependantes deux `
a
deux ?
11. — Soit (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires mutuellement ind´ ependantes dont les fonctions de r´ epartition sont respectivement F 1 ,
. . . , F n . D´ eterminer les fonctions de r´ epartition de Y = max(X 1 , . . . , X n ) et
de Z = min(X 1 , . . . , X n ).
12. — On d´ esigne par P r (k) (r ≥ 1) la probabilit´ e pour qu’un central
t´ el´ ephonique re¸ coive k appels en r minutes. On suppose que le nombre
d’appels re¸ cus dans deux intervalles de temps disjoints sont deux variables
al´ eatoires ind´ ependantes.
a) Calculer en fonction de P 1 (k) (k ≥ 0) la probabilit´ e pour que le
central re¸ coive s appels en deux minutes.
b) Si P 1 (k) = e
−a a
k
k!
(a > 0 ; k ∈ N), calculer P r (k) pour tout r ≥ 1.
13. Tirages avec et sans remise. — Une urne contient r + s boules dont r
blanches et s noires (r, s ≥ 1). On proc` ede ` a n tirages successifs (n ≥ 1), ´ etant
entendu qu’apr` es chaque tirage on remet (resp. on ne remet pas) la boule
tir´ ee dans l’urne. On d´ esigne par A k (k = 1, . . . , n) l’´ ev` enement on am` ene
une boule blanche au k
e tirage et l’on introduit les variables al´ eatoires :
X k = I A k (k = 1, . . . , n) et S n = X 1 + · · ·+ X n (nombre de blanches amen´ ees
au cours des n tirages).
Tirage avec remise ; mod` ele binomial. — On prend pour Ω l’ensemble des
´ el´ ements ω = A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε n
n , o` u A
ε = A, si ε = 1 et A
ε = A
c , si ε = 0, et
pour mesure de probabilit´ e P sur Ω celle d´ efinie par :
P({ω}) = P(A
ε 1
1 ) . . . P(A
ε n
n ),
o` u P(A 1 ) = · · · = P(A n ) = p.
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
a) Un p` ere de famille d´ eclare avoir deux enfants. Calculer la probabilit´ e
pour que les deux soient des gar¸ cons, sachant que
α) l’un au moins est un gar¸ con ; β) l’aˆ ın´ e est un gar¸ con.
b) On choisit au hasard un enfant dans une famille de deux enfants.
Sachant que l’enfant choisi est un gar¸ con, quelle est la probabilit´ e pour que
les deux enfants de la famille soient des gar¸ cons ?
9. — Trouver une condition n´ ecessaire et suffisante pour qu’une variable
al´ eatoire X soit ind´ ependante d’elle-mˆ eme.
10. — Soient X 1 , X 2 deux variables al´ eatoires ind´ ependantes ayant la
loi de probabilit´ e commune
1
2 (ε −1 + ε +1 ) . Est-ce que les trois variables X 1 ,
X 2 , X 3 = X 1 X 2 sont mutuellement ind´ ependantes ou ind´ ependantes deux `
a
deux ?
11. — Soit (X 1 , . . . , X n ) un syst` eme de n variables al´ eatoires mutuellement ind´ ependantes dont les fonctions de r´ epartition sont respectivement F 1 ,
. . . , F n . D´ eterminer les fonctions de r´ epartition de Y = max(X 1 , . . . , X n ) et
de Z = min(X 1 , . . . , X n ).
12. — On d´ esigne par P r (k) (r ≥ 1) la probabilit´ e pour qu’un central
t´ el´ ephonique re¸ coive k appels en r minutes. On suppose que le nombre
d’appels re¸ cus dans deux intervalles de temps disjoints sont deux variables
al´ eatoires ind´ ependantes.
a) Calculer en fonction de P 1 (k) (k ≥ 0) la probabilit´ e pour que le
central re¸ coive s appels en deux minutes.
b) Si P 1 (k) = e
−a a
k
k!
(a > 0 ; k ∈ N), calculer P r (k) pour tout r ≥ 1.
13. Tirages avec et sans remise. — Une urne contient r + s boules dont r
blanches et s noires (r, s ≥ 1). On proc` ede ` a n tirages successifs (n ≥ 1), ´ etant
entendu qu’apr` es chaque tirage on remet (resp. on ne remet pas) la boule
tir´ ee dans l’urne. On d´ esigne par A k (k = 1, . . . , n) l’´ ev` enement on am` ene
une boule blanche au k
e tirage et l’on introduit les variables al´ eatoires :
X k = I A k (k = 1, . . . , n) et S n = X 1 + · · ·+ X n (nombre de blanches amen´ ees
au cours des n tirages).
Tirage avec remise ; mod` ele binomial. — On prend pour Ω l’ensemble des
´ el´ ements ω = A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε n
n , o` u A
ε = A, si ε = 1 et A
ε = A
c , si ε = 0, et
pour mesure de probabilit´ e P sur Ω celle d´ efinie par :
P({ω}) = P(A
ε 1
1 ) . . . P(A
ε n
n ),
o` u P(A 1 ) = · · · = P(A n ) = p.