COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
63
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soient A, B deux ´ ev` enements. Montrer que si A et B sont
ind´ ependants, alors les tribus engendr´ ees T(A) et T(B) sont ind´ ependantes.
2. a) Si C 1 et C 2 sont deux classes ind´ ependantes d’´ ev` enements, alors les
classes monotones engendr´ ees M(C 1 ) et M(C 2 ) sont ind´ ependantes.
b) Si A 1 et A 2 sont deux alg` ebres d’´ ev` enements, qui sont ind´ ependantes,
alors les tribus engendr´ ees T(A 1 ) et T(A 2 ) sont aussi ind´ ependantes.
3. — On lance un d´ e parfait et l’on consid` ere les deux ´ ev` enements :
A le point amen´ e est divisible par 2 ;
B le point amen´ e est divisible par 3 .
Montrer que les ´ ev` enements A et B sont ind´ ependants.
4. a) Montrer que si A et B sont deux ´ ev` enements ind´ ependants tels que
A entraˆ ıne B, alors on a : ou P(B) = 1, ou P(A) = 0.
b) Montrer que si A est ind´ ependant de lui-mˆ eme, alors P(A) = 0 ou 1.
c) Montrer que si P(A) = 0 ou 1, alors A est ind´ ependant de tout
´ ev` enement.
d) (J.-P. Dion) La relation d’ind´ ependance n’est pas transitive : il suffit
de prendre deux ´ ev` enements A, B ind´ ependants avec 0 < P(A) < 1. Alors
A est ind´ ependant de B et B de A, mais A n’est pas ind´ ependant de A.
5. — Supposons A ind´ ependant de B ∩C et de B ∪C, puis B ind´ ependant
de C ∩ A et enfin C ind´ ependant de A ∩ B. Supposons, en outre, P(A), P(B),
P(C) strictement positifs. Alors A, B, C sont mutuellement ind´ ependants.
6. — Montrer que le cas suivant peut se pr´ esenter : A est ind´ ependant de
B ∩ C et de B ∪ C, mais ni de B, ni de C.
7. — Soient A, B, C trois ´ ev` enements tels que A et B sont ind´ ependants
conditionnellement `
a C et ` a C
c et que A et C sont ind´ ependants. Montrer
que A et B sont alors ind´ ependants.
On montre, de mˆ eme : soit (X, Y, Z) un triplet de variables al´ eatoires, tel
que X et Y sont ind´ ependants conditionnellement `
a Z et que X et Z sont
ind´ ependants. Alors X et Y sont ind´ ependants.
8. — Dans les deux exemples suivants, il convient, avant de calculer les
probabilit´ es conditionnelles demand´ ees, de construire un triplet d´ ecrivant
l’exp´ erience.
EMENTS ET EXERCICES
63
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soient A, B deux ´ ev` enements. Montrer que si A et B sont
ind´ ependants, alors les tribus engendr´ ees T(A) et T(B) sont ind´ ependantes.
2. a) Si C 1 et C 2 sont deux classes ind´ ependantes d’´ ev` enements, alors les
classes monotones engendr´ ees M(C 1 ) et M(C 2 ) sont ind´ ependantes.
b) Si A 1 et A 2 sont deux alg` ebres d’´ ev` enements, qui sont ind´ ependantes,
alors les tribus engendr´ ees T(A 1 ) et T(A 2 ) sont aussi ind´ ependantes.
3. — On lance un d´ e parfait et l’on consid` ere les deux ´ ev` enements :
A le point amen´ e est divisible par 2 ;
B le point amen´ e est divisible par 3 .
Montrer que les ´ ev` enements A et B sont ind´ ependants.
4. a) Montrer que si A et B sont deux ´ ev` enements ind´ ependants tels que
A entraˆ ıne B, alors on a : ou P(B) = 1, ou P(A) = 0.
b) Montrer que si A est ind´ ependant de lui-mˆ eme, alors P(A) = 0 ou 1.
c) Montrer que si P(A) = 0 ou 1, alors A est ind´ ependant de tout
´ ev` enement.
d) (J.-P. Dion) La relation d’ind´ ependance n’est pas transitive : il suffit
de prendre deux ´ ev` enements A, B ind´ ependants avec 0 < P(A) < 1. Alors
A est ind´ ependant de B et B de A, mais A n’est pas ind´ ependant de A.
5. — Supposons A ind´ ependant de B ∩C et de B ∪C, puis B ind´ ependant
de C ∩ A et enfin C ind´ ependant de A ∩ B. Supposons, en outre, P(A), P(B),
P(C) strictement positifs. Alors A, B, C sont mutuellement ind´ ependants.
6. — Montrer que le cas suivant peut se pr´ esenter : A est ind´ ependant de
B ∩ C et de B ∪ C, mais ni de B, ni de C.
7. — Soient A, B, C trois ´ ev` enements tels que A et B sont ind´ ependants
conditionnellement `
a C et ` a C
c et que A et C sont ind´ ependants. Montrer
que A et B sont alors ind´ ependants.
On montre, de mˆ eme : soit (X, Y, Z) un triplet de variables al´ eatoires, tel
que X et Y sont ind´ ependants conditionnellement `
a Z et que X et Z sont
ind´ ependants. Alors X et Y sont ind´ ependants.
8. — Dans les deux exemples suivants, il convient, avant de calculer les
probabilit´ es conditionnelles demand´ ees, de construire un triplet d´ ecrivant
l’exp´ erience.