62 CHAPITRE 6 : PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
Proposition 6.1. — Soient n ≥ 2 et X 1 , . . . , X n une suite de n
variables al´ eatoires r´ eelles, d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). Alors
X 1 , . . . , X n sont mutuellement ind´ ependantes, si et seulement si la fonction
de r´ epartition F du vecteur X = (X 1 , . . . , X n ) est ´ egale au produit des
fonctions de r´ epartitions F 1 de X 1 , . . . , F n de X n , c’est-` a-dire si pour toute
suite (x 1 , . . . , x n ) de R
n , on a :
F(x 1 , . . . , x n ) = F 1 (x 1 ) . . . F n (x n ).
D´ emonstration. — On donne la d´ emonstration pour n = 2. Si X 1 et X 2
sont ind´ ependantes, on a P{X 1 ∈ B 1 , X 2 ∈ B 2 } = P{X 1 ∈ B 2 }P{X 2 ∈ B 2 },
pour tout couple de bor´ eliens B 1 , B 2 . En prenant B 1 =] − ∞, x 1 ] et
B 2 =] − ∞, x 2 ], on obtient l’´ equation
(6.1)
F(x 1 , x 2 ) = F 1 (x 1 )F 2 (x 2 ).
R´ eciproquement, soit C i la classe des ´ ev` enements {X i ≤ x i } (i = 1, 2).
Cette classe est stable par intersection finie. L’´ equation (6.1) montre que C 1
et C 2 sont ind´ ependantes. De l` a, leurs tribus engendr´ ees sont ind´ ependantes,
mais celles-ci ne sont sont autres que les tribus T(X 1 ) et T(X 2 ). Les variables
al´ eatoires X 1 et X 2 sont donc ind´ ependantes.
La derni` ere proposition est fort utile lorsque l’on consid` ere des transformations de variables al´ eatoires et que l’on veut s’assurer que les variables
transform´ ees sont toujours ind´ ependantes.
Proposition 6.2. — Soient n ≥ 2 et X 1 , . . . , X n une suite de n variables
al´ eatoires `
a m dimensions, d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P) et
suppos´ ees mutuellement ind´ ependantes. Soient, d’autre part, f i : (R
m , B
m ) →
(R
p , B
p ) (i = 1, . . . , n) des fonctions mesurables. Alors f 1 ◦ X 1 , . . . , f n ◦ X n
sont des variables al´ eatoires `
a p dimensions, mutuellement ind´ ependantes.
D´ emonstration. — En effet,
P{f 1 ◦ X 1 ∈ B 1 , . . . , f n ◦ X n ∈ B n }
= P{X 1 ∈ f
−1
1 (B 1 ), . . . , X n ∈ f
−1
n (B n )}
= P{X 1 ∈ f
−1
1 (B 1 )} . . . P{X n ∈ f
−1
n (B n )}
= P{f 1 ◦ X 1 ∈ B 1 } . . . P{f n ◦ X n ∈ B n }.
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
Proposition 6.1. — Soient n ≥ 2 et X 1 , . . . , X n une suite de n
variables al´ eatoires r´ eelles, d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P). Alors
X 1 , . . . , X n sont mutuellement ind´ ependantes, si et seulement si la fonction
de r´ epartition F du vecteur X = (X 1 , . . . , X n ) est ´ egale au produit des
fonctions de r´ epartitions F 1 de X 1 , . . . , F n de X n , c’est-` a-dire si pour toute
suite (x 1 , . . . , x n ) de R
n , on a :
F(x 1 , . . . , x n ) = F 1 (x 1 ) . . . F n (x n ).
D´ emonstration. — On donne la d´ emonstration pour n = 2. Si X 1 et X 2
sont ind´ ependantes, on a P{X 1 ∈ B 1 , X 2 ∈ B 2 } = P{X 1 ∈ B 2 }P{X 2 ∈ B 2 },
pour tout couple de bor´ eliens B 1 , B 2 . En prenant B 1 =] − ∞, x 1 ] et
B 2 =] − ∞, x 2 ], on obtient l’´ equation
(6.1)
F(x 1 , x 2 ) = F 1 (x 1 )F 2 (x 2 ).
R´ eciproquement, soit C i la classe des ´ ev` enements {X i ≤ x i } (i = 1, 2).
Cette classe est stable par intersection finie. L’´ equation (6.1) montre que C 1
et C 2 sont ind´ ependantes. De l` a, leurs tribus engendr´ ees sont ind´ ependantes,
mais celles-ci ne sont sont autres que les tribus T(X 1 ) et T(X 2 ). Les variables
al´ eatoires X 1 et X 2 sont donc ind´ ependantes.
La derni` ere proposition est fort utile lorsque l’on consid` ere des transformations de variables al´ eatoires et que l’on veut s’assurer que les variables
transform´ ees sont toujours ind´ ependantes.
Proposition 6.2. — Soient n ≥ 2 et X 1 , . . . , X n une suite de n variables
al´ eatoires `
a m dimensions, d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P) et
suppos´ ees mutuellement ind´ ependantes. Soient, d’autre part, f i : (R
m , B
m ) →
(R
p , B
p ) (i = 1, . . . , n) des fonctions mesurables. Alors f 1 ◦ X 1 , . . . , f n ◦ X n
sont des variables al´ eatoires `
a p dimensions, mutuellement ind´ ependantes.
D´ emonstration. — En effet,
P{f 1 ◦ X 1 ∈ B 1 , . . . , f n ◦ X n ∈ B n }
= P{X 1 ∈ f
−1
1 (B 1 ), . . . , X n ∈ f
−1
n (B n )}
= P{X 1 ∈ f
−1
1 (B 1 )} . . . P{X n ∈ f
−1
n (B n )}
= P{f 1 ◦ X 1 ∈ B 1 } . . . P{f n ◦ X n ∈ B n }.