6. VARIABLES AL ´
EATOIRES IND ´
EPENDANTES
61
Comme une alg` ebre est stable par intersection finie, la Proposition 5.1
admet le corollaire suivant que nous ´ enon¸ cons sous forme de proposition, vu
son importance.
Proposition 5.2. — Si A 1 et A 2 sont deux alg` ebres d’´ ev` enements, qui
sont ind´ ependantes, alors les tribus engendr´ ees T(A 1 ) et T(A 2 ) sont aussi
ind´ ependantes.
6. Variables al´ eatoires ind´ ependantes. — On a vu pr´ ec´ edemment la
notion de tribu engendr´ ee par une variable al´ eatoire. Si X est une variable
al´ eatoire ` a n dimensions, d´ efinie sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), la tribu
T(X) engendr´ ee par X n’est autre que la tribu X
−1 (B
n ). On peut donc
prolonger la notion d’ind´ ependance au cas des variables al´ eatoires de la fa¸ con
suivante.
D´ efinition. — Deux variables al´ eatoires (r´ eelles ou ` a plusieurs dimensions)
X et Y , d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), sont dites ind´ ependantes,
si les tribus T(X) et T(Y ) sont ind´ ependantes.
De fa¸ con plus explicite, soient X et Y deux variables al´ eatoires, respectivement ` a n et m dimensions, toutes deux d´ efinies sur un espace probabilis´ e
(Ω, A, P). Elles sont ind´ ependantes, si pour tout A ∈ B
n et tout B ∈ B
m ,
on a :
P{X ∈ A, Y ∈ B} = P{X ∈ A}P{Y ∈ B}.
Une des notions qui revient constamment dans la th´ eorie des probabilit´ es est la notion de suite de variables (mutuellement) ind´ ependantes. La
d´ efinition formelle en est la suivante :
D´ efinition. — Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies sur un
espace probabilis´ e (Ω, A, P). On dit que cette suite est une suite de variables
al´ eatoires ind´ ependantes (on dit encore variables al´ eatoires mutuellement
ind´ ependantes, pour ´ eviter toute ambigu¨ ıt´ e), si la suite des tribus engendr´ ees
(T(X n )) est une suite de tribus mutuellement ind´ ependantes.
La formulation utile de cette d´ efinition est la suivante : la suite (X n )
est une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, si pour toute suite finie
extraite X i 1 , . . . , X i k et toute suite finie B 1 , . . . , B k de bor´ eliens, on a :
P{X i 1 ∈ B 1 , . . . , X i k ∈ B k } = P{X i 1 ∈ B 1 } . . . P{X i k ∈ B k }.
La proposition suivante dit que pour v´ erifier que deux variables al´ eatoires
r´ eelles X et Y sont ind´ ependantes, il suffit de se restreindre `
a des sous-classes
d’ensembles, ` a savoir les demi-droites. Les probabilit´ es P{X ∈ A}, lorsque
A =] − ∞, x], sont alors ´ egales ` a P{X ≤ x}, c’est-` a-dire `
a F(x), o` u F est
la fonction de r´ epartition de X. Il suffit alors de v´ erifier que la fonction de
r´ epartition du couple est ´ egale au produit des fonctions de r´ epartition de X
et de Y .
EATOIRES IND ´
EPENDANTES
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Comme une alg` ebre est stable par intersection finie, la Proposition 5.1
admet le corollaire suivant que nous ´ enon¸ cons sous forme de proposition, vu
son importance.
Proposition 5.2. — Si A 1 et A 2 sont deux alg` ebres d’´ ev` enements, qui
sont ind´ ependantes, alors les tribus engendr´ ees T(A 1 ) et T(A 2 ) sont aussi
ind´ ependantes.
6. Variables al´ eatoires ind´ ependantes. — On a vu pr´ ec´ edemment la
notion de tribu engendr´ ee par une variable al´ eatoire. Si X est une variable
al´ eatoire ` a n dimensions, d´ efinie sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), la tribu
T(X) engendr´ ee par X n’est autre que la tribu X
−1 (B
n ). On peut donc
prolonger la notion d’ind´ ependance au cas des variables al´ eatoires de la fa¸ con
suivante.
D´ efinition. — Deux variables al´ eatoires (r´ eelles ou ` a plusieurs dimensions)
X et Y , d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), sont dites ind´ ependantes,
si les tribus T(X) et T(Y ) sont ind´ ependantes.
De fa¸ con plus explicite, soient X et Y deux variables al´ eatoires, respectivement ` a n et m dimensions, toutes deux d´ efinies sur un espace probabilis´ e
(Ω, A, P). Elles sont ind´ ependantes, si pour tout A ∈ B
n et tout B ∈ B
m ,
on a :
P{X ∈ A, Y ∈ B} = P{X ∈ A}P{Y ∈ B}.
Une des notions qui revient constamment dans la th´ eorie des probabilit´ es est la notion de suite de variables (mutuellement) ind´ ependantes. La
d´ efinition formelle en est la suivante :
D´ efinition. — Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies sur un
espace probabilis´ e (Ω, A, P). On dit que cette suite est une suite de variables
al´ eatoires ind´ ependantes (on dit encore variables al´ eatoires mutuellement
ind´ ependantes, pour ´ eviter toute ambigu¨ ıt´ e), si la suite des tribus engendr´ ees
(T(X n )) est une suite de tribus mutuellement ind´ ependantes.
La formulation utile de cette d´ efinition est la suivante : la suite (X n )
est une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, si pour toute suite finie
extraite X i 1 , . . . , X i k et toute suite finie B 1 , . . . , B k de bor´ eliens, on a :
P{X i 1 ∈ B 1 , . . . , X i k ∈ B k } = P{X i 1 ∈ B 1 } . . . P{X i k ∈ B k }.
La proposition suivante dit que pour v´ erifier que deux variables al´ eatoires
r´ eelles X et Y sont ind´ ependantes, il suffit de se restreindre `
a des sous-classes
d’ensembles, ` a savoir les demi-droites. Les probabilit´ es P{X ∈ A}, lorsque
A =] − ∞, x], sont alors ´ egales ` a P{X ≤ x}, c’est-` a-dire `
a F(x), o` u F est
la fonction de r´ epartition de X. Il suffit alors de v´ erifier que la fonction de
r´ epartition du couple est ´ egale au produit des fonctions de r´ epartition de X
et de Y .