60 CHAPITRE 6 : PROBABILIT ´
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
P(E a 1 ∩ · · · ∩ E a n ) = 1/[a 1 , . . . , a n ]. De mˆ eme, on en d´ eduit que les deux
propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) [a 1 , . . . , a n ] = a 1 · · · a n ;
b) P(E a 1 ∩ · · · ∩ E a n ) = P(E a 1 ) . . . P(E a n ).
Or on sait que la propri´ et´ e a) est r´ ealis´ ee, si et seulement si les nombres
sont premiers deux `
a deux. Pour toute partie J ⊂ {1, . . . , n} on a donc
P(
j∈J
E a j ) =
j∈J
P(E a j ). La propri´ et´ e b) ´ equivaut en fait `
a l’ind´ ependance
des ´ ev` enements E a 1 , . . . , E a n dans leur ensemble.
4) Prenons N = 12, n = 3, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 4. On voit que E 2
et E 3 sont ind´ ependants, ainsi que E 3 et E 4 , mais E 2 et E 4 ne sont pas
ind´ ependants. La relation d’ind´ ependance n’est pas transitive.
5. Ind´ ependance de classes d’´ ev` enements. — On prolonge la notion
d’ind´ ependance aux classes d’´ ev` enements de la fa¸ con suivante. Supposons
donn´ ee une suite (finie ou infinie) (C n ) de classes d’´ ev` enements.
D´ efinition. — On dit que C 1 et C 2 sont ind´ ependantes, si quel que soit
A 1 ∈ C 1 et A 2 ∈ C 2 , les ´ ev` enements A 1 et A 2 sont ind´ ependants.
De mˆ eme, la suite (C n ) est une suite de classes mutuellement ind´ ependantes, si pour toute sous-suite finie C i 1 , . . . , C i k extraite de la suite (C n ) et
pour toute suite d’´ ev` enements A i 1 ∈ C i 1 , . . . , A i k ∈ C i k , on a :
P(A i 1 . . . A i k ) = P(A i 1 ) . . . P(A i k ).
La proposition suivante montre que pour v´ erifier que deux classes sont
ind´ ependantes, il suffit de le v´ erifier sur des sous-classes suffisamment stables.
La notion de syst` eme de Dynkin joue alors un rˆ ole essentiel.
Proposition 5.1. — Soient C 1 et C 2 deux classes d’´ ev` enements. On
suppose qu’elles sont ind´ ependantes et stables par intersection finie. Alors
les tribus T(C 1 ) et T(C 2 ) engendr´ ees par C 1 et C 2 sont ind´ ependantes.
D´ emonstration. — Soit E 1 la classe des ´ ev` enements qui sont ind´ ependants
de chaque ´ ev` enement de C 2 . On a observ´ e plus haut que la classe D A de tous
les ´ ev` enements qui sont ind´ ependants d’un ´ ev` enement A formait un syst` eme
de Dynkin. Comme E 1 n’est autre que l’intersection
D A (A ∈ C 2 ), la classe
E 1 est aussi un syst` eme de Dynkin. Comme elle contient C 1 , elle contient
encore le syst` eme de Dynkin engendr´ e D(C 1 ). De l` a, D(C 1 ) et C 2 sont deux
classes ind´ ependantes.
De la mˆ eme fa¸ con, on d´ emontre que la classe E 2 des ´ ev` enements qui sont
ind´ ependants de chaque ´ ev` enement de D(C 1 ) est aussi un syst` eme de Dynkin.
Elle contient C 2 , donc aussi D(C 2 ). Par suite, D(C 1 ) et D(C 2 ) sont ind´ ependants.
Enfin, comme les classes C 1 et C 2 sont stables par intersection finie,
les syst` emes de Dynkin engendr´ es par celles-ci sont identiques aux tribus
engendr´ ees. D’o` u T(C 1 ) = D(C 1 ) et T(C 2 ) = D(C 2 ) sont ind´ ependantes.
ES CONDITIONNELLES. IND ´
EPENDANCE
P(E a 1 ∩ · · · ∩ E a n ) = 1/[a 1 , . . . , a n ]. De mˆ eme, on en d´ eduit que les deux
propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) [a 1 , . . . , a n ] = a 1 · · · a n ;
b) P(E a 1 ∩ · · · ∩ E a n ) = P(E a 1 ) . . . P(E a n ).
Or on sait que la propri´ et´ e a) est r´ ealis´ ee, si et seulement si les nombres
sont premiers deux `
a deux. Pour toute partie J ⊂ {1, . . . , n} on a donc
P(
j∈J
E a j ) =
j∈J
P(E a j ). La propri´ et´ e b) ´ equivaut en fait `
a l’ind´ ependance
des ´ ev` enements E a 1 , . . . , E a n dans leur ensemble.
4) Prenons N = 12, n = 3, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 4. On voit que E 2
et E 3 sont ind´ ependants, ainsi que E 3 et E 4 , mais E 2 et E 4 ne sont pas
ind´ ependants. La relation d’ind´ ependance n’est pas transitive.
5. Ind´ ependance de classes d’´ ev` enements. — On prolonge la notion
d’ind´ ependance aux classes d’´ ev` enements de la fa¸ con suivante. Supposons
donn´ ee une suite (finie ou infinie) (C n ) de classes d’´ ev` enements.
D´ efinition. — On dit que C 1 et C 2 sont ind´ ependantes, si quel que soit
A 1 ∈ C 1 et A 2 ∈ C 2 , les ´ ev` enements A 1 et A 2 sont ind´ ependants.
De mˆ eme, la suite (C n ) est une suite de classes mutuellement ind´ ependantes, si pour toute sous-suite finie C i 1 , . . . , C i k extraite de la suite (C n ) et
pour toute suite d’´ ev` enements A i 1 ∈ C i 1 , . . . , A i k ∈ C i k , on a :
P(A i 1 . . . A i k ) = P(A i 1 ) . . . P(A i k ).
La proposition suivante montre que pour v´ erifier que deux classes sont
ind´ ependantes, il suffit de le v´ erifier sur des sous-classes suffisamment stables.
La notion de syst` eme de Dynkin joue alors un rˆ ole essentiel.
Proposition 5.1. — Soient C 1 et C 2 deux classes d’´ ev` enements. On
suppose qu’elles sont ind´ ependantes et stables par intersection finie. Alors
les tribus T(C 1 ) et T(C 2 ) engendr´ ees par C 1 et C 2 sont ind´ ependantes.
D´ emonstration. — Soit E 1 la classe des ´ ev` enements qui sont ind´ ependants
de chaque ´ ev` enement de C 2 . On a observ´ e plus haut que la classe D A de tous
les ´ ev` enements qui sont ind´ ependants d’un ´ ev` enement A formait un syst` eme
de Dynkin. Comme E 1 n’est autre que l’intersection
D A (A ∈ C 2 ), la classe
E 1 est aussi un syst` eme de Dynkin. Comme elle contient C 1 , elle contient
encore le syst` eme de Dynkin engendr´ e D(C 1 ). De l` a, D(C 1 ) et C 2 sont deux
classes ind´ ependantes.
De la mˆ eme fa¸ con, on d´ emontre que la classe E 2 des ´ ev` enements qui sont
ind´ ependants de chaque ´ ev` enement de D(C 1 ) est aussi un syst` eme de Dynkin.
Elle contient C 2 , donc aussi D(C 2 ). Par suite, D(C 1 ) et D(C 2 ) sont ind´ ependants.
Enfin, comme les classes C 1 et C 2 sont stables par intersection finie,
les syst` emes de Dynkin engendr´ es par celles-ci sont identiques aux tribus
engendr´ ees. D’o` u T(C 1 ) = D(C 1 ) et T(C 2 ) = D(C 2 ) sont ind´ ependantes.